선형 대수 Span | 선형대수학 24강: 선형결합(Linear Combination)과 생성(Span) (한글 자막) [쑤튜브] 빠른 답변

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선형생성(線型生成, linear span) 또는 선형포(線型包, linear hull)는 선형대수학 또는 함수해석학에서 어떤 벡터공간이 모든 부분공간의 교집합일 때 그 벡터공간의 벡터의 집합이다.

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[목차]도입 0:04
선형결합(combination) 2:55
(=일차 결합 이라고도 합니다.)
생성(span) 4:40
-스팬은 부분 공간이다 5:50
-행렬이 같을 필요충분 조건 8:15

#선형결합 #생성 #선형대수 #벡터공간

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09 선형 독립(Linear independence), Span, 기저(Basis) 그리고 …

Set of vectors constructs of vector space by linear combination. 사전적 의미: “(많은, 넓은 것을)포괄하다, 걸치다, 가로지르다. 선형대수 의미 : span a space, …

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Date Published: 11/29/2022

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[선형대수] 2. 선형 결합, span, 기저 벡터 – 블로그

​ · 1) span: · 벡터 v,w의 모든 가능한 선형 결합. · 2차원 공간 내에서 선형 결합을 설명하면서, · span이라는 개념이 등장합니다. · 이 개념은 참 와닿지도 …

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Source: blog.naver.com

Date Published: 9/29/2022

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[Linear Algebra] Lecture 9 선형 독립(Linear independence …

선형대수(Linear algebra)에서 span은 보통 “span a space”라고 표현하곤 한다. 이를 굳이 해석해보면 “어떤 공간을 포괄하다”정도로 해석할 수 …

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Source: twlab.tistory.com

Date Published: 11/11/2021

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기초 선형대수 – 용어(Terminology) – 영구노트

a1,a2,⋯,ak의 span은 모든 선형 결합들의 집합이다. 즉 벡터 공간 상에 존재하는 이 벡터들로 이루어진 조합의 모든 경우의 수를 말한다.

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Source: satlab.tistory.com

Date Published: 6/13/2021

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Span{}, 선형 결합, 벡터의 대수학적 성질 – 딥러닝 공부방

[선형대수학] 1.3 벡터 방정식 – Vector Equations – Span{}, 선형 결합, 벡터의 대수학적 성질. AI 꿈나무 2020. 10. 26. 14:31.

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Source: deep-learning-study.tistory.com

Date Published: 5/15/2021

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선형대수 기초(2) – span, 기저벡터(basis vector)

선형대수 기초(2) – span, 기저벡터(basis vector). 알랑까몰라 2021. 7. 25. 13:47. 다음과 같은 arrow를 행렬(list of number)로 표현하는 방법을 생각해봅시다.

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Source: leeminju531.tistory.com

Date Published: 12/10/2021

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[선형대수]vector, span, column space, null space, dimension …

Span. 벡터들의 선형결합(linear combination)으로 형성할 수 있는 공간; 벡터에 따라 모든 공간을 채울 수도 있고, 2차원에서는 line, 3차원에서는 …

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Date Published: 9/5/2021

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[선형대수학] 벡터, 기저, 스팬 (Vector, Basis and Span)

[선형대수학] 벡터, 기저, 스팬 (Vector, Basis and Span). roytravel 2021. 11. 5. 00:35. 선형대수학을 볼 때마다 느끼지만 대수적으로만 기술되어 있다보니 늘 …

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Source: roytravel.tistory.com

Date Published: 3/17/2021

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• Date Published: 2019. 6. 4.
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선형생성(線型生成, linear span) 또는 선형포(線型包, linear hull)는 선형대수학 또는 함수해석학에서 어떤 벡터공간이 모든 부분공간의 교집합일 때 그 벡터공간의 벡터의 집합이다. 고로 벡터들의 집합의 선형생성은 선형공간이다.

어떤 체 K {\displaystyle K} 에 대한 어떤 벡터공간 V {\displaystyle V} 가 주어졌을 때, 어떤 벡터들의 집합 S {\displaystyle S} (유한집합일 필요는 없음)의 생성은 V {\displaystyle V} 의 S {\displaystyle S} 를 포함하는 모든 부분공간의 교집합 W {\displaystyle W} 로 정의된다. 이때 W {\displaystyle W} 를 S {\displaystyle S} 또는 S {\displaystyle S} 의 벡터들에 의해 생성된 부분공간이라 한다. 역으로 S {\displaystyle S} 는 W {\displaystyle W} 의 생성집합이라 불리며, 우리는 S {\displaystyle S} 가 W {\displaystyle W} 를 생성한다고 서술한다.

달리 서술하면 S {\displaystyle S} 의 생성은 S {\displaystyle S} 의 원소들의 모든 유한선형결합의 집합으로 정의될 수 있다.

span ⁡ ( S ) = { ∑ i = 1 k λ i v i | k ∈ N , v i ∈ S , λ i ∈ K } . {\displaystyle \operatorname {span} (S)=\left\{{\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}{\Big |}k\in \mathbb {N} ,v_{i}\in S,\lambda _{i}\in \mathbf {K} }\right\}.}

[선형대수] 2. 선형 결합, span, 기저 벡터

선형대수 [선형대수] 2. 선형 결합, span, 기저 벡터 러닝머신 ・ URL 복사 본문 기타 기능 공유하기 신고하기 선형결합(linear combination): 숫자 곱과 벡터 합! span: 두 벡터가 맘대로 움직일 수 있는대로 움직였을 때 그려지는 전체 영역! 기저벡터(basis vector): 공간을 span하는 씨앗 역할을 하는 벡터! 주의) 느낌을 위한 표현이며, 엄밀하지는 않습니다 0. 들어가며 ​ 안녕하세요, 간만에 선형대수 컨텐츠로 돌아왔습니다. 약 2년 전에 당찬 각오로 시리즈를 시작했었는데, 결국 두개만 올리고 끝나고 말았네요 ㅎㅎ 제 게으름에 새삼 놀랐습니다. ​ 벌써 강의를 들은지도 오래되었을 뿐더러, 전체 강의를 아우르기는 힘들 것 같다는 결론을 내림과 동시에, 유튜브에 아주 직관적으로 선형대수의 정수를 설명하는 강의가 있어 이를 소개 및 정리하는 시리즈로 이어가려고 합니다. ​ https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab ​ 바로 3blue1brown이라는 채널의 “essence of linear algebra”라는 시리즈입니다. 단순히 어려운 개념의 나열에 불과했던 선형대수를 직관적인 영상으로 정확히 설명해주는, 명강 중의 명강이라고 생각합니다. 선형대수의 전체를 커버하지는 않지만, 골자가 되는 선형대수적 직관을 기르게 해줍니다. (그 직관을 기르는 것이 강좌의 목적이기도 합니다) ​ 앞으로 이 강의의 내용을 한 줄씩 요약한 요약본(파란 글씨)을 토대로, 간단한 설명을 제공하며 포스팅을 이어나가려고 합니다! 위의 강의의 커리큘럼에 맞추어 한 강의씩 듣고 포스팅을 보조 자료로 활용하시는 것을 적극 추천드립니다! ​ ​ 1. 벡터의 재해석 벡터를 다시 바라보는 방법 ​ 1) 벡터(n,m)를 기저벡터(basis vector) i와 j의 x축으로 n만큼, y축으로 m만큼 scaling한 것으로 볼 수 있다. ​ ​ x축의 방향으로 뻗은 1만큼의 길이를 갖는 단위벡터 i와 y축의 방향으로 뻗은 1만큼의 길이를 갖는 단위벡터 j가 있을 경우, 우리가 (2,3)이라는 벡터를 바라볼때 x축 방향으로 2번 만큼 (i 두번), y축 방향으로 3번 만큼(j 세번) 늘린(scale) 결과물로 이해할 수 있습니다. ​ ​ 2) 즉 벡터는 이 2개의 scaled vector의 sum으로 볼 수 있는 것. 달리 말해, 2*i + 3*j 로 표현할 수도 있다는 것이지요. ​ 3) 따라서 우리가 수학적으로 벡터라는 표현을 사용할 때마다, 벡터는 그에 상응하는 암묵적인 기저 벡터에 대한 결정에 따른 결과라고 할 수 있다. ​ 이러한 관점에서 벡터를 정리해보면, 벡터는 그 기본 씨앗이 되는 기저벡터를 이렇게 굴리고 저렇게 굴려서 만들어 낸 결과물로 생각할 수 있다는 것입니다. ​ 2. 선형결합(linear combination) ​ 1) av+bw의 형태로 표현될 수 있는 벡터의 결합 형태. 여기서 a,b는 스칼라, v,w는 벡터를 의미한다. 위의 설명에서 나타냈듯이, 2*i + 3*j 의 형태로 만들어진 표현을 선형 결합이라고 합니다. 조금 더 엄밀한 표현을 빌리자면, 스칼라의 곱과 벡터의 합으로만 이루어진 벡터의 결합 형태를 의미합니다. 이를 단순하게 직관적으로만 표현하자면, 제가 서두에 적었듯이 “숫자 곱과 벡터 합!” 이라고 말할 수 있을 것 같습니다. ​ ​ 2) 직관적으로, 한 스칼라를 고정시켰을 때 (e.g. a를 고정) b가 변화함에 따라 변화하는 자취를 그려보면 직선의 형태가 나오기 때문에, 선형으로 이해할 수 있다. 왜 이게 선형 결합일까요? 3파1갈(3blue1brown) 형님은 이렇게 설명합니다. 만약에 2*i + 3*j 가 있을 때, 이 중에 a(여기서는 2라는 스칼라)를 고정시킨다고 해보자. 그러면 b(여기서는 3)가 변화함에 따라 이 벡터가 변화하는 자취를 그려보면 “직선”이 나온다. 때문에 선형의 꼴을 띠는 결합이라 하여 선형결합이다! ​ ​ 3. 2차원 공간 내 선형 결합의 3가지 형태 ​ 1) span: 벡터 v,w의 모든 가능한 선형 결합. 2차원 공간에서 두 벡터의 span은 2차원 공간 내의 모든 벡터가 됨. 2차원 공간 내에서 선형 결합을 설명하면서, span이라는 개념이 등장합니다. 이 개념은 참 와닿지도 않고 잘 기억에 남지도 않지만, 앞으로 선형대수에서 두고두고 등장하는 개념입니다. ​ 직관적으로 설명하자면, “2개의 벡터가 주어졌을 때 이 두 벡터가 선형 결합을 가능한만큼 맘대로 했을 때 그릴 수 있는 전체 공간” 입니다. 2차원 공간 내에서 독립인 두 벡터의 span은 2차원의 모든 벡터 공간이 됩니다. ​ 정신없는 꼬맹이 두명(2개의 독립된 벡터)이서 엎치락 뒤치락 하면서 방을 굴러다닌다(선형 결합)면, 방 전체를 커버(span)할 수 있는 것 처럼요. 그러면 엄마한테 엉덩이를 맞겠죠(spank)? 죄송합니다. ​ ​ 2) 직선: 두 벡터가 한 방향을 가리키고 있을 경우, 이들의 선형결합은 직선의 형태로 이루어짐 앞서서 두 벡터가 독립이어야 한다고 했습니다. 이 독립이라는 것은 별게 아니라, 여기서는 같은 방향을 바라보지 않는다는 의미를 독립이라고 이해하면 좋겠습니다. ​ 같은 방향만 바라보고 있는 아이들이라면, 아무리 굴러도 일직선으로 나아가겠습니다. ​ ​ 3) 점:f 둘 다 영벡터일 경우, 이들의 선형결합은 원점이 됨 둘다 영벡터, 즉 (0,0)인 경우에는 아무리 결합을 해도 영벡터가 됩니다. 따라서 이들의 선형결합은 원점에 머무르게 됩니다. ​ 얌전한 아이 둘은 역시 아무리 붙여 놓아도 가만히 있군요! ​ 4. 3차원 공간 내 선형 결합 ​ 1) 2개의 벡터가 3차원 공간 내에서 선형결합의 꼭짓점으로 한 2차원 평면을 그릴 때, 이 2개의 벡터의 모든 집합은 처음 2개 벡터의 span이다. 3차원 공간으로 확대해도 원리는 같습니다. 2개의 벡터가 선형결합한 결과가 2차원 평면을 그릴 때, 이 2개의 벡터의 역할을 수행할 수 있는 벡터의 전체 집합은 span과 같다는 이야기입니다. ​ ​ 2) 선형결합의 표현 av+bw+cu 결합하는 벡터가 3개가 되었으니, 선형 결합의 항도 3개로 늘었네요. ​ 3) 3 벡터가 모두 자유롭게 결합할 경우 : 처음 2 벡터가 2차원 평면을 만들 때, 나머지 한개의 벡터가 변화함에 따라 그 2차원 평면을 3차원 공간내에서 이동시킴. 이로써 3차원 평면 전체를 아우를 수 있게 된다 ​ 1) 에서 살펴본 것에서 조금 달리 생각해보면, 고정되어 있던 2개의 축 중 하나를 더 자유롭게 만들어 주면 3차원 평면 전체를 span할 수 있게 됩니다. ​ 5. 선형 독립과 선형 종속 ​ 1) 선형 독립 (liearly independent) : n차원 공간 내에서 n개의 모든 벡터가 다른 방향을 가리킨다면 이들의 span은 n차원 공간 전체가 될 것. 달리 말해 하나의 벡터가 다른 벡터의 span에 차원을 더해 준다면, 이 벡터들은 선형 독립이다. ​ 앞서서 아이들 2명의 예를 들었습니다. 만약 둘이 뒤엉켜서 장난을 치고 있는데 서로 같은 다른 방향으로만 간다면 여기 갔다가, 저기 갔다가 하면서 전체 공간을 다 커버할 가능성이 있겠지요. 이를 조금 더 formal한 표현으로 적은 말입니다. ​ ​ ​ 2) 선형 종속 (linearly dependent) : 특정 벡터 v가 다른 벡터 w와 같은 방향을 가리키고 있을 때, 같은 방향을 가리키는 하나의 벡터 w 이외의 벡터(들)은 v의 선형결합으로 표현이 될 수 있으므로(span 안에 있으므로) 잉여가 된다(redundant). 이 경우를 v가 w의 선형 종속이라 함. ​ 선형 결합을 통해 새로운 차원이 늘어나지 않고, 그저 원래 있던 차원에 머물러 있으면 새로운 벡터가 결합되거나 말거나 span은 그대로일 것입니다. 이 경우에는 선형 종속이라고 합니다. ​ 즉, 두 벡터가 독립되지 못하였을 경우를 반대로 dependent(종속)하다고 표현합니다 ​ ​ ​ the basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that spans the full space. ​ “벡터 공간의 기저 (벡터)는 전체 공간을 span하는 선형적으로 독립적인 벡터의 집합이다” ​ 즉, 공간을 span하는 씨앗과 같은 기저 벡터가 있을 때, 이 기저 벡터들이 서로 독립을 이루어서(다른 방향을 바라보아서) 선형 결합을 이렇게 저렇게 하다 보면 결국에는 전체 공간을 span하게 될 때, 앞서 말한 이 씨앗 역할을 하는 벡터들을 기저 벡터라고 하는 것입니다. ​ ​ p.s. 도움이 되었다면, 공감/댓글 부탁드립니다! 누군가에게 도움이 되었다는 것이 제게 소소한 기쁨이 됩니다. ​ 잘못된 정보, 수정해야할 내용 지적은 언제든지 환영합니다! 인쇄

[Linear Algebra] Lecture 9 선형 독립(Linear independence), Span, 기저(Basis) 그리고 차원(Dimension)

이번 포스팅에서는 크게 세 가지 주제를 다룰 것이다. 매우 중요한 개념들이니 잘 숙지하도록 하자.

먼저 선형 독립(Linear independence)에 대하여 이야기하고, Span과 기저(Basis), 그리고 차원(Dimension)에 대하여 다루도록 하겠다. 이 용어들의 정확한 의미를 파악해 보도록 하자.

1. 선형 독립(Linear independence)

– background:

선형 독립을 설명하기 위해서 먼저 지난 Lecture 7에서 배웠던 내용을 잠깐 복습해보자.

어떤 행렬 A의 크기가 m by n이라고 가정하자. 이때 column의 수 n이 row의 수 m보다 더 크다고 가정해보자. 즉 m < n이다. 이는 다시 말하면 미지수(unknown)의 개수가 방정식(equation)의 개수보다 더 많다는 이야기이다. 이 경우 행렬 A에 대해서 Ax=0에 대한 0이 아닌 해가 존재한다. 즉 Null space가 존재한다는 것이다. 어째서 해가 존재할까? 우리는 이를 알아낼 수 있는 확실한 알고리즘을 이미 공부했다. 소거(elimination)를 통해 행렬을 echelon form으로 만드는 과정에서 pivot이 존재하게 되는데, pivot은 row의 개수보다 많을 수 없다. 여기서의 행렬 A는 column의 수 n이 row의 수 m보다 많기 때문에 반드시 pivot이 없는 column이 존재하게 되는데, 이 column이 바로 free column이고 free column에 대응되는 미지수가 바로 free variable이다. 결국 행렬 A가 m < n인 경우, 반드시 1개 이상의 free variable이 존재하기 때문에 Ax=0에 대한 0이 아닌 해, Null space가 존재하게 된다. 정확히는 n-r(rank)개의 free variable이 존재하게 된다. 우리는 이 free variable에 0이 아닌 어떤 임의의 값을 설정한 뒤 pivot variable에 대해서 방정식을 풀게 되면 그 해가 Ax=0을 만족하는 0이 아닌 값들이 되어 Null space를 형성한다. (※자세한 사항은 lecture 7 참조) - linear independence: 지금까지 위에서 설명한 내용은 선형 독립을 설명하기 위한 배경 지식이다. 이제 선형 독립(Linear independence)에 대해 알아보도록 하자. 벡터가 독립(Independence)이라는 것은 어떤 의미일까? 함축된 정의를 내리기전에 직접적인 의미를 생각해보자. 독립(Independence)의 의미: 벡터 x1, x2, ... xn이 있을 때, 만약 모든 계수(coefficient)가 0인 경우를 제외하고 어떠한 선형 조합(Linear combination)으로도 0을 만들 수 없다면 이 벡터들은 독립(Independent)이다. 즉 위의 말을 다시 풀어서 써보자면 어떤 벡터 x1, x2가 있다고 했을 때, 이들의 선형 조합을 c1x1 + c2x2 라고 하자. 이때 c1=0, c2=0인 경우를 제외하고 c1, c2에 어떠한 임의의 값을 넣어서 선형 조합 연산을 했을 때 그 어떠한 값을 넣어도 결과 값이 0이 나오지 않는다면 x1과 x2는 독립이다. 반대로 임의의 c1, c2값으로 선형 독립 연산을 했을 때 결과 값이 0인 경우가 발생한다면 x1과 x2는 종속(dependent)관계이다. 말로만 설명하면 이해가 잘 가지 않을 수 있으니 그림을 예로 들어 이해해보자. 아래 그림의 2차원 평면상의 두 벡터를 보자. 위 그림에서 두 개의 벡터 v1, v2가 있다. v2는 v1의 두 배에 달하는 길이를 가지고 있고 방향도 같다. 이들은 독립(Independent)일까 종속(dependent)일까? 당연히 종속(dependent)이다. 위의 정의에 따르면 v1의 두배에서 v2를 빼면 0이 되기 때문이다. 즉 위의 정의에 의해 c1=2, c2=1일때의 선형 조합을 통해 0이 만들어지기 때문에 v1과 v2는 종속관계이다. 이번엔 직관적인 관점으로 보자. v1과 v2는 2차원 평면상에 존재하지만, 방향이 같다. 이는 같은 직선 상에 위치한 것을 의미하며 2차원 평면상에 존재하지만 이 두 벡터로는 1차원밖에 정의할 수 없다는 의미다. 이 말을 위의 독립에 대한 정의와 연결지어 생각해보자. 여기에서의 선형 조합(linear combination)이라는 것(일반적인 경우는 아님)은 사실 벡터는 변함없이 그대로이고 상수값 c만 바뀌게 된다. 이것이 의미하는 것은 벡터의 방향은 변함이 없고 크기만 바뀌게 되는데, 선형 조합에 이용되는 벡터들의 크기만을 조절하여 0을 만들기 위해선(모든 c가 0인 경우는 제외함) 반드시 벡터들의 방향이 같아야만 한다. 결국 모든 계수가 0인 경우를 제외하고 선형 조합을 통해 결과가 0이 된다는 것은 두 벡터의 방향이 같아야만 성립되기 때문에 그림으로 판단하는 독립에 대한 우리의 직관과 위의 조건이 일치하는 것을 알 수 있다. 이번엔 약간 특이한 경우를 살펴보자. 위 그림처럼 v1벡터가 있고, v2가 0인 경우에 이들은 독립일까? 이들 역시 종속(dependent)이다. 계수 c가 모두 0인 경우를 제외한다고 해보자. v1에 0을 곱하고 v2에 어떠한 수를 곱해도 결과는 0이 될 수밖에 없다. 결국 n개의 벡터 중 하나라도 0벡터일 경우엔 종속(dependent)이다. 이번엔 독립(Independence)인 경우를 살펴보자. 2차원 평면에서 두 개의 벡터가 아래와 같이 있으면 독립이다. 위 그림에서 두 벡터 v1과 v2를 이용하여 어떠한 선형 조합을 한다해도 0을 만들 수는 없다(c1, c2가 모두 0인 경우는 제외). 이를 직관적으로 봤을 때도 v1과 v2를 이용하여 2차원 공간상의 어떤 벡터도 만들어낼 수 있기 때문에 이 둘은 독립이다. 그렇다면 아래 그림과 같이 여기에 v3가 추가되면 어떨까? 이 경우에도 이들은 독립일까? 이들은 독립일까 종속일까? 이들은 종속(dependent)이다. 이를 어떻게 알 수 있을까? 우리가 이번 포스팅의 맨 처음에서 공부했던 background를 통해서 알 수 있다. 즉 background에서 공부했던 m

기초 선형대수 – 용어(Terminology)

-Basic Linear Algebra-

4. Termonology (용어)

4.1. Span (생성)

다음과 같은 벡터들이 있다고 하자.

$$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_k \in \mathbb{R}^n$$

$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_k$의 span은 모든 선형 결합들의 집합이다. 즉 벡터 공간 상에 존재하는 이 벡터들로 이루어진 조합의 모든 경우의 수를 말한다. 따라서 “span a space”는 공간을 형성(또는 생성)한다는 뜻이다.

$$\text{span}\left[\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_k\right] = \left\{\sum_{i=1}^k\alpha_i\mathbf{a}_i\right\}$$

4.2. Subspace (부분공간)

$\mathbb{R}^n$의 부분집합(subset) $V$가 벡터 덧셈(vector addition)과 스칼라 곱셈(scalar multiplication)에 대해 닫혀(closed)있다면 $V$는 $\mathbb{R}^n$의 부분공간(subspace)라 한다.

\begin{cases} \text{if } \mathbf{a}, \mathbf{b} \in V \Rightarrow \mathbf{a}+\mathbf{b} \in V \\\\ \text{if } \mathbf{a} \in V \Rightarrow \alpha\mathbf{a} \in V \text{ for } \forall\alpha \in \mathbb{R} \end{cases}

만약 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in V$이면, 어떤 모든 $\alpha, \beta$에 대해 다음이 성립한다.

$$\alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b} \in V$$

영 벡터(zero vector)는 $V$에 속한다.

4.3. Basis (기저)

어떤 부분공간 $V$가 있고, 선형 독립인 벡터들로 이루어진 어떤 집합이 $V$에 속한다고 하자.

$$ \left\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_k\right\} \subset V $$

그리고 이 벡터들이 부분공간 $V$를 형성하면(span a subspace V) 이 벡터들은 $V$의 기저(basis)가 된다.

$$ V=\text{span}\left[\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_k\right] $$

4.4. Dimension (차원)

어떤 부분공간의 차원을 말할 때는 이 부분공간을 이루는 기저(basis)의 개수를 말한다.

$$\text{dim}\ \mathbf{V}: \text{ The number of basis vectors which span }\mathbf{V}$$

어떤 벡터의 차원을 말할 때는 이 벡터의 요소 개수를 의미한다. 벡터의 크기(magnitude)와는 다르다.

$$\text{dim}\ \mathbf{a}: \text{ The number of elements in }$\mathbf{a}$$

4.5. iff (if and only if)

iff는 “if and only if”의 줄임말이다. 필요조건과 충분조건을 모두 만족하는 명제에 쓰인다. 즉 명제의 역도 성립함을 의미한다.

4.6. Rank (계수)

행렬 $\mathbf{A}$의 선형 독립인 열(column)의 최대 갯수를 $\mathbf{A}$의 rank라 한다.

$$\text{Rank}\ \mathbf{A} = \text{dim}\ \text{span}\ \left[\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_k\right]$$

4.7. Theorem (정리)

만약 벡터 집합 $\left\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_k\right\}$이 부분공간 $V$의 기저라면, $V$의 어떤 벡터 $\mathbf{a}$는 기저들의 선형 결합으로 유일하게 표현된다.

$$\mathbf{a} = \alpha_1\mathbf{a}_1 + \alpha_2\mathbf{a}_2 + \cdots + \alpha_k\mathbf{a}_k \quad\text{where, } \alpha_i \in \mathbb{R}$$

4.7.1. Proof

유일성을 증명하기 위해 벡터 $\mathbf{a}$를 다음과 같이 두 가지 방법으로 표현할 수 있다고 가정하자.

\begin{align}\mathbf{a} &= \alpha_1\mathbf{a}_1+\alpha_2\mathbf{a}_2+\cdots+\alpha_k\mathbf{a}_k \\\\ \mathbf{a} &= \beta_1\mathbf{b}_1+\beta_2\mathbf{b}_2+\cdots+\beta_k\mathbf{b}_k\end{align}

그러면 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$ \alpha_1\mathbf{a}_1+\alpha_2\mathbf{a}_2+\cdots+\alpha_k\mathbf{a}_k = \beta_1\mathbf{a}_1+\beta_2\mathbf{a}_2+\cdots+\beta_k\mathbf{a}_k $$

$$\therefore(\alpha_1-\beta_1)\mathbf{a} + \cdots + (\alpha_k-\beta_k)\mathbf{a}_k = 0$$

이때 $\left\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_k\right\}$는 선형 독립이므로 모든 계수는 0이 될 수밖에 없다.

$$\alpha_i-\beta_i=0 \quad \Rightarrow \quad \therefore \alpha_i=\beta_i$$

Span{}, 선형 결합, 벡터의 대수학적 성질

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이번 포스팅에서 공부할 것은 다음과 같습니다.

vectors in $R^n$ : algevraic propreties(대수학적 성질)

linear combination(선형 결합)과 vector equation(벡터 방정식)의 관계

Span{}

1. 2차원 실수체계에서의 벡터 – Vectors in $R^2$

$R^2$가 의미하는 것은 2차원 실수체계를 의미합니다.

벡터의 표현 방법으로는 3가지가 있습니다.

(1) 대괄호

(2) 좌표

u=(3,-1), v=(.2,.3)

(3) 화살표

원점에서부터 vector point까지 화살표를 그려 표현합니다.

2. 벡터 덧셈 – Vector summation

2차원 실수체계 공간에서 두 개의 벡터가 주어졌을 때 덧셈을 할 수 있습니다.

3. 스칼라 곱 – Scalar multiplication

스칼라와 벡터를 곱할 수 있습니다.

스칼라는 단 하나의 값을 의미합니다.

scalar와 vector을 곱하면 vector의 차수를 따르게 됩니다.

4. 2차원 실수체계 공간에서의 기하학적 표현 – Geometric descriptions of $R^2$

벡터를 기하학적으로 표현할 수 있습니다.

(1) 벡터의 덧셈 기하학적 표현

원점에서 vector point까지 화살표를 그리면 됩니다.

(2) 스칼라 곱 기하학적 표현

이 의미는 스칼라곱으로 u벡터와 동일선상에 있는 모든 것을 표현할 수 있습니다.

5. 3차원 실수체계에서의 벡터 – Vectors in $R^3$

3차원 공간에서 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

6. n차원 실수체계 공간에서의 벡터 – Vectors in $R^n$

3차원이 넘어가게 되면 사람이 상상하기가 어렵습니다.

하지만 단순히 $R^n$으로 벡터를 확장하는 것은 쉽습니다.

7. $R^n$공간에서 대수학적 성질 – Algebraic properties of $R^n$

이 성질은 얼핏보면 당연해보이지만 이 8가지 성질이 만족하지 않는 세계도 있습니다.

벡터는 위 8가지 성질을 만족합니다.

8. 선형 결합 – Linear combinations

$R^n$ 공간에서 vector와 scalar가 주어졌을 때 vector Y를 정의할 수 있습니다.

이것을 weights($c_1, … , c_p$)가 있는 $v_1, … ,v_p$의 선형 결합(linear combination)이라고 합니다.

weights는 각각의 vector에 곱해진 scalar를 의미합니다.

9. 벡터 방정식은 선형 시스템의 첨가행렬과 같은 해를 갖고 있다.

vector equation과 augmented matrix는 same solution set을 갖고 있습니다.

살펴보겠습니다.

$a_1, a_2, b$가 주어졌을 때 $a_1, a_2$의 선형 결합(linear combination)으로 b를 표현할 수 있습니다.

이제 이 augmented matrix에 row reduction을 이용해 reduced echelon form을 얻고 solution을 도출할 수 있습니다.

$x_1=3, x_2=2$의 solution을 구했습니다.

10. Span{$v_1, … ,v_p$}의 의미

$v_1, … ,v_p$가 있을 때 span은 $c_1v_1 + … + c_pv_p$ 형태의 linear combination을 의미합니다.

즉, span은 linear combination을 간단히 표현한 것입니다.

11. 3차원 실수 공간에서 Span{v}와 Span{u,v}의 기하학적 표현

Span{v}는 3차원에서 직선

Span{u,v}는 3차원에서 평면으로 나타낼 수 있습니다.

u와 v는 방향이 다른 벡터라는 조건에서 span{u,v}로 표현할 수 있습니다.

12. b가 Span{$a_1, a_2$}에 존재하는지 확인하기

a1, a2, b를 augmented matrix로 표현하고 row reduction을 통해 reduced echelon form을 만들어 solution을 확인해보면 풀 수 있습니다.

augmented matrix로 표현

3번째 방정식이 0=-2입니다.

이는 이론2에 의하면 no solution을 의미합니다.

따라서 b는 span{a1,a2}에 없습니다.

b is not in Span{$a_1, a_2$}

David C.Lay 의 Linear algebra and its application를 공부하면서 정리해보았습니다. 감사합니다.

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선형대수 기초(2) – span, 기저벡터(basis vector)

다음과 같은 arrow를 행렬(list of number)로 표현하는 방법을 생각해봅시다.

본능적으로

위와 같은 수치적 표현을 생각할 수 있습니다.

우리는 xy 좌표계에서 x축 방향으로의 단위벡터를 i , y축 방향으로의 단위벡터를 j 라고 사용합니다.

벡터를 표현할때, 우리는 기저벡터(basis vector)를 선택하고, 각각의 기저벡터에 대응되는 스칼라를 곱하고(Scailing) 더한 값으로 벡터를 표현합니다. 이를 선형 조합(Linear Combination)이라고 합니다.

중요한점은, 우리가 arrow를 수치적(list of number)로 표현할때 우리는 암묵적으로 특정 기저벡터를 선택한 상태 라는 것 입니다.

Span이란, 선택된 기저벡터의 선형 조합 집합을 의미합니다.

즉, 우리가 i , j 라는 기저벡터를 선택했으므로 이에 대응되는 span은 2차원 평면이 될 것 입니다.

span ; a*i + bj로 표현될 수 있는 집합

만약 해당 arrow를 수치적으로 표현하기 위해 아래와 같은 기저벡터를 선택해봅시다.

위의 경우 Span은 (v와 w의 선형조합 집합) 1차원 공간을 나타낼 것 입니다. (w는 -v 로 표현됨)

각각의 벡터가 기존 스팬에 또 다른 차원을 추가해주것 이 가능하다면, 이는 선형 독립(Linear dependent) 라고 합니다.

아래의 경우, 선택한 벡터가 다른 벡터에 의해 표현될 수 있으므로 선형 종속(Linear Independent) 라고 합니다.

ref

https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=2

[선형대수학] 벡터, 기저, 스팬 (Vector, Basis and Span)

선형대수학을 볼 때마다 느끼지만 대수적으로만 기술되어 있다보니 늘 추상적으로 느껴지고 직관적이지가 않았습니다. 이번에 국문과 공대생이라는 블로그를 운영하시는 분의 글을 보다가 명불허전이라는 말에 하나의 강의를 수강하고보니 이해가 더 잘된다는 느낌이 들었고 실제로도 그랬습니다. 아무래도 흔히 배우게 되는 대수적인 측면이외에도 기하적인 측면으로의 설명과 더불어 잘 표현되는 시각화가 높은 이해도의 핵심을 차지 한 것 같습니다.

늘 선형대수를 보면서 그래서 대체 물리와는 어떻게 연결해 설명할 수 있는 것인지 궁금했습니다. 중고등학교때 함수나 미적분을 왜 배우는지 몰랐지만 지나고나니 물리학에서 파동을 기술하거나 다른 물리량을 알아내는 데에 쓰인다는 것을 알게 되었고, 수학으로 물리학을 말할 수 있다는 사실이 흥미로워지면서 더 관심을 갖게 됐습니다. 마찬가지로 선형대수도 물리학적으로 가지는 의미를 이해하면 더 이해가 높아질 것 같아서 그런 강의가 없을까 했는데 3Blue1Brown라는 유튜버의 강의를 접하고나서 많이 해소가 된 것 같습니다.

링크는 https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab 입니다. 총 16강으로 구성되어 있구요 각 강의는 10분대 내외로 짧게 이루어집니다. 수강 내용을 간략히 정리하려다 보니 서두가 길어지면서 홍보글 같긴하네요. 아무튼 강추합니다.

첫 강의에서부터 선형대수를 바라볼 수 있는 3가지 측면을 언급하면서 시작합니다. 물리학의 관점, 컴퓨터 과학의 관점, 수학의 관점이 있다고 이야기합니다. 선형대수에서 자주 쓰이는 벡터는 물리학의 관점에서 화살표와 동일하며, 컴퓨터과학에서는 숫자 리스트, 수학의 관점에서는 모든 것이라 이야기합니다. 관점으로는 간단히 여기까지만 이야기하고 이후로는 선형대수의 개념에 대해 설명을 진행합니다. 저는 물리 이외에도 (당연하지만) 컴퓨터과학과 수학의 관점에서 바라볼 수 있다고 언급한 것에서 넘어가서 계속 보게 된 것 같습니다.

기초 벡터 연산

선형대수학에서는 크게 두 가지 기본적인 연산으로 이루어집니다. 벡터 합과 스칼라곱입니다. 벡터는 단순합니다. 화살표라고 생각해도 됩니다. 또는 화살표의 좌표를 나타내는 것이라 생각하면 됩니다. 이후 강의를 통해 스칼라의 의미를 처음으로 제대로 이해하게 됐습니다.

스칼라는 단순히 숫자로만 이해하고 있었으나 위와 같이 하나의 벡터(화살표)의 길이를 늘리거나 줄이거나 방향을 바꾸는 것을 Scaling이라 하는데, 위의 그림과 같이 2, 1/3, -1.8과 같이 벡터 스케일링에 사용되는 숫자들을 스칼라(scalar)라고 한다고 합니다. (스칼라의 영어발음이 스케일라였습니다.) 또한 선형대수를 통틀어 스칼라의 주요 역할은 벡터를 스케일링 하는 것이라고 합니다.

벡터에 스칼라를 곱하는 것은 숫자 리스트(행렬)라는 개념에서 리스트의 각 원소에 숫자를 곱하는 것과 같습니다. 스칼라를 이용해 벡터를 스케일링할 수 있고 이렇게 스케일링된 두 벡터끼리 더하는 것을 선형결합(linear combination) 이라고 합니다.

기저

기저 또한 처음으로 시원하게 강의를 듣게 되어 이해할 수 있었습니다. 기저를 설명하기 위해서는 먼저 2차원 x, y 좌표계상의 특별한 두 가지 벡터가 있다고 합니다. 바로 x축에 있는 단위 벡터(unit vector)인 $\hat{i}$와 y축에 있는 단위 벡터인 $\hat{j}$입니다. 이 둘을 좌표계의 기저(basis)라고 합니다.

그렇다고하면 이 기저는 어떤 의미를 가지는가?라고 했을 때 핵심은 벡터의 변환을 구할 수 있다는 것입니다. 조금 더 설명하면 어떤 벡터 $(x, y)$가 있을 때 어떤 행렬을 거쳐서 공간상에 $(x’, y’)$로 매핑된다면 그 기저는 어떤 행렬이 되는 것입니다. 즉 Input vector $(x, y)$는 기저만 알고 있다면 바로 output vector $(x’, y’)$를 도출해낼 수 있는 것과 같습니다. 조금 더 자세히 말해 벡터가 행렬로부터 변환이 된다면 벡터를 이루는 기저 또한 변환이 되는데 결과적으로 변환된 기저벡터를 알고 있다면 어떤 벡터 $(x, y)$가 와도 변환을 바로 시킬 수 있다는 것입니다. (보충 설명은 앞으로 작성될 선형변환 포스팅에서 참고 바랍니다)

이 기저라고 하는 것은 암묵적으로 원점을 기준으로 하는 것으로 사용하고 있습니다. 때문에 움직이는 것은 두 벡터만 움직입니다. 두 벡터를 가지고 어디에 활용할까요? 아래와 같이 2차원 공간상의 모든 좌표를 표현할 수 있게 됩니다. 무한하고 평평한 2차원 평면을 만들 수 있다는 것입니다.

이렇게 두 벡터를 통해 표현할 수 있는 공간을 Span이라고 합니다. 정확히 Span의 사전적 정의는 주어진 두 벡터 쌍의 조합으로 나타낼 수 있는 output vector의 집합입니다. 2차원 벡터쌍의 span은 대부분 2차원 공간 전체가 됩니다.

하지만 이러한 span이 특정 선 위로 제한이 되는 경우도 있습니다. 바로 두 벡터 중 하나가 다른 벡터와 겹치게 되는 경우 입니다.

이럴 때는 Span이 2차원 공간이 아니라 단순히 직선 하나로 볼 수 있습니다. 이렇게 하나의 벡터가 다른 벡터에 겹치게 되어 Span이 한 차원 확장되지 못하는 경우를 선형 종속(Linear Dependent)이라고 합니다. 다시 말해 벡터가 하나만 있었다면 1차원 선만 표현하지만 2개라면 2차원을 표현해야합니다. 하지만 2개의 벡터가 있음에도 불구하고 1차원 밖에 표현하지 못하는 것을 의미합니다.

반대로 하나의 벡터를 추가하여 기존 Span이외에 다른 차원을 추가해주는 것이 가능하다면 선형 독립(Linear Independent)라고 합니다. 이는 3차원에서도 마찬가지입니다.

세 개의 벡터가 있을 때 스팬은 모든 가능한 선형결합의 결과집합입니다. 즉, 세 개의 벡터로 모든 3차원 공간을 다 만들 수 있는 것과 동일합니다. 하지만 2차원과 마찬가지로 예외가 존재하는데, 만약 세 번째 벡터가 두 개의 벡터가 만드는 스팬(평면)에 놓여있다면 세 번째 벡터를 추가해도 스팬이 바뀌지 않습니다. 이를 선형종속이라 하였습니다.

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