Najważniejsze Informacje Na Mature Z Matematyki | 20 Rzeczy Które Musisz Wiedzieć Przed Maturą Matematyka Podstawa 2022 답을 믿으세요

당신은 주제를 찾고 있습니까 “najważniejsze informacje na mature z matematyki – 20 rzeczy które musisz wiedzieć przed maturą MATEMATYKA PODSTAWA 2022“? 다음 카테고리의 웹사이트 you.future-user.com 에서 귀하의 모든 질문에 답변해 드립니다: https://you.future-user.com/blog. 바로 아래에서 답을 찾을 수 있습니다. 작성자 MiedzianyFsor 이(가) 작성한 기사에는 조회수 312,553회 및 좋아요 18,011개 개의 좋아요가 있습니다.

najważniejsze informacje na mature z matematyki 주제에 대한 동영상 보기

여기에서 이 주제에 대한 비디오를 시청하십시오. 주의 깊게 살펴보고 읽고 있는 내용에 대한 피드백을 제공하세요!

d여기에서 20 rzeczy które musisz wiedzieć przed maturą MATEMATYKA PODSTAWA 2022 – najważniejsze informacje na mature z matematyki 주제에 대한 세부정보를 참조하세요

❗❗❗❗❗❗❗UWAGA FILM UWZGLĘDNIA WYTYCZNE DO MATURY 2022❗❗❗❗❗❗❗❗
Cześć
Jeśli chcesz wspomóc kanał skromnym napiwkiem zapraszam do skorzystania z linka:
👉https://www.paypal.com/paypalme/miedzianyfsor
👉https://tipply.pl/u/fsor
Witam w kolejnym filmie z powtórkami. Dzisiaj filmik gdzie pobieżnie przelecimy sobie po najważniejszych rzeczach do matury podstawowej z matematyki. Zapnijcie pasy bo tempo będzie nieziemskie.

Playlista z kursem maturalnym:
👉https://www.youtube.com/watch?v=aoPDEOC4wys\u0026list=PLu0hov09N1D1zm1aVuYcfWOrkw3ONXsY0
Playlista OBEJRZYJ PRZED MATURĄ
👉https://youtube.com/playlist?list=PLu0hov09N1D0DN4OCPsKmuSKMN9SxeHvH
Zapraszam na FANPAGE NA FACEBOOKU
👉https://www.facebook.com/Miedziany-Fsor-104395467949994
#matura #2022 #matematyka #poziom #podstawowy

najważniejsze informacje na mature z matematyki 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.

Najważniejsze wzory na maturze z matematyki 2022

Informacje o tablicach maturalnych. Tablice matematyczne są legalną ściągą na egzaminie. w tablicach znajdziesz osiemnaście rozdziałów.

+ 여기에 표시

Source: matematykazglowa.pl

Date Published: 8/10/2021

View: 3776

Matura z matematyki w pigułce. Szybka powtórka do egzaminu.

Dlatego postanowiliśmy zebrać najważniejsze tematy na maturze z matematyki w pięć filmów. Wszystkie znajdziecie poniżej wraz z listą …

+ 여기에 더 보기

Source: krakowpomaga.pl

Date Published: 9/10/2021

View: 7693

Matura z matematyki. Co warto powtórzyć i zapamiętać przed …

Co będzie na tegorocznej maturze z matematyki? Powtórka. Przed przystąpieniem do matury dobrze jest przypomnieć sobie najważniejsze zagadnienia, …

+ 여기에 더 보기

Source: gazetakrakowska.pl

Date Published: 10/10/2022

View: 9218

Matura – MatmaNa6

Matura z matematyki – podstawowe informacje. Egzamin maturalny z matematyki w 2022 roku odbędzie się 5 maja o 9 rano – poziom podstawowy …

+ 여기에 더 보기

Source: www.matmana6.pl

Date Published: 9/5/2022

View: 2575

Pewniaki maturalne – Matematyka – Matura podstawowa

To co jest najważniejsze, to wszystkie zadania pochodzą z matur, … Odczytywanie informacji z wykresu funkcji (głównie funkcji liniowej lub kwadratowej)

+ 여기에 표시

Source: szaloneliczby.pl

Date Published: 9/18/2021

View: 4277

Przygotowanie do matury z matematyki – co musisz wiedzieć?

Matura z matematyki – informacje. Królowa nauk – kompleksowe przygotowanie do matury z matematyki.

+ 여기에 자세히 보기

Source: indekswkieszeni.pl

Date Published: 1/27/2022

View: 2547

Ile trwa i jak wygląda matura z matematyki?

Te pytania każdego roku zadają sobie maturzyści, którzy przygotowują się do najważniejszego egzaminu w swoim życiu – matury. Odpowiedzi na te i inne pytania …

+ 더 읽기

Source: www.wsb.pl

Date Published: 10/7/2022

View: 5487

주제와 관련된 이미지 najważniejsze informacje na mature z matematyki

주제와 관련된 더 많은 사진을 참조하십시오 20 rzeczy które musisz wiedzieć przed maturą MATEMATYKA PODSTAWA 2022. 댓글에서 더 많은 관련 이미지를 보거나 필요한 경우 더 많은 관련 기사를 볼 수 있습니다.

---

주제에 대한 기사 평가 najważniejsze informacje na mature z matematyki

• Author: MiedzianyFsor
• Views: 조회수 312,553회
• Likes: 좋아요 18,011개
• Date Published: 최초 공개: 2021. 5. 4.
• Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=KhJSEo9XiT4

Co warto wiedzieć na maturze z matematyki?

Co najczęściej pojawia się na maturze z matematyki?

Co Usunięto z matury z matematyki 2022?

Na maturze z matematyki 2022 nie będzie m.in. brył obrotowych, błędu względnego i bezwzględnego oraz wartości odwrotnych proporcjonalnie. Z wielu działów usunięto najtrudniejsze zagadnienia, np. okręgi styczne wewnętrznie i zewnętrznie czy średnią ważoną i odchylenie standardowe.

Czy Poprawka z matury jest łatwiejsza?

Matura poprawkowa jest łatwiejsza – MIT

W 2021 roku obowiązują takie sama wymagania egzaminacyjne na terminie majowym oraz sierpniowym. Każdy z tych arkuszy zawierał/będzie zawierał 28 zadań zamkniętych oraz 7 otwartych. To pierwszy argument za tym, że te egzaminy nie różnią się między sobą poziomem trudności.

Ile punktów na 30%?

13,5 punktu na 45, czyli równe 30% – niby niewiele, a jednak za dużo, aby machnąć ręką i się nie przejmować, bo „jakoś to będzie”.

Jak szybko uczyć się matematyki?

Aby nauczyć się matematyki, trzeba ćwiczyć pamięć oraz uwagę. Zagadki, zadania, łamigłówki, szachy sprzyjają polepszeniu pamięci oraz umiejętności analitycznych. Dla zapamiętywania treści można również wykorzystać inne zasady. W formie wierszu lub żartu nawet najtrudniejsze treści nie będą aż takie trudne.

Co jest najtrudniejsze na maturze?

Najtrudniejsza dla tegorocznych maturzystów okazała się, jak w latach ubiegłych, matematyka. – Ta matura odbywała się w warunkach pandemii – podkreślał wiceminister Tomasz Rzymkowski w czasie konferencji, na której przedstawiono wyniki matur 2021.

Jak zdać maturę z matematyki na 100%?

Aby uzyskać z niego 100% punktów, należy wykazać się umiejętnościami czytania ze zrozumieniem oraz poprawnego formułowania dłuższych wypowiedzi. Warto ćwiczyć te elementy np. poprzez wypełnianie arkuszy z poprzednich lat lub zapoznanie się z poradnikiem pisania wypracowania.

Co powtórzyć przed matura z matematyki 2022?

Matura 2022 – matematyka

Niezawodną metodą powtórkową jest również rozwiązywanie arkuszy maturalnych z poprzednich lat. Powodzenia!

Co się stanie jak się nie zda matury?

W przypadku niezaliczenia tylko jednego przedmiotu masz prawo do poprawki od sierpnia do września tego samego roku. Dokładny termin ustala dyrektor Centralnej Komisji Egzaminacyjnej. Niezaliczenie większej ilości przedmiotów automatycznie odkłada egzamin maturalny na przyszły rok.

Ile procent ma jeden punkt na maturze?

na Uniwersytecie SWPS 2020/2021

Wyniki egzaminów maturalnych (“nowa matura”) są przeliczane na punkty kwalifikacyjne według reguły: a. 1% z egzaminu maturalnego na poziomie podstawowym = 1 punkt kwalifikacyjny; b. 1% z egzaminu maturalnego na poziomie rozszerzonym = 1,5 punktu kwalifikacyjnego; c.

Co odpada z matury 2022?

Czego nie będzie na maturze z matematyki 2022 poziom podstawowy. brak zadań z potęg w kontekście fizycznym, chemicznym itp. brak wykresów funkcji wykładniczych dla różnych podstaw, brak f.

Ile razy można przystąpić do matury?

Egzamin maturalny, czy się go zdało, czy nie, można poprawiać w ciągu pięciu lat maksymalne pięć razy.

Czy w 2023 roku będzie matura ustna?

Formuła 2023

Według nowej formuły maturzyści w 2023 będą musieli obowiązkowo przystąpić do egzaminów pisemnych: z języka polskiego, języka obcego nowożytnego i matematyki, a także do jednego egzaminu pisemnego z przedmiotu do wyboru. Obowiązkowe będą również egzaminy ustne z języka polskiego oraz języka obcego.

Czy matura jest potrzebna do życia?

Przy rekrutacji na każde studia (czy to dzienne, czy zaoczne) wymagane jest okazanie świadectwa maturalnego. Do podjęcia studiów potrzebna jest nam zatem zdana matura, ale nie oznacza to, że bez niej nie możemy kontynuować swojej edukacji – istnieją w końcu szkoły policealne, które już zdanej matury nie wymagają.

Jak dobrze zdać maturę z matematyki?

Od czego zacząć uczyć się matematyki?

W idealnym świecie nauka do matury z matematyki na poziomie podstawowym powinna wyglądać tak: uzupełnienie wiedzy matematycznej sprzed szkoły średniej, zrozumienie poszczególnych działów z wykorzystaniem karty wzorów maturalnych, powtórzenie całości materiałów i wymieszanie zadań między działami.

Jak należy strzelać na maturze z matematyki?

Ogólna zasada dotycząca strzelania, o której powinieneś pamiętać, brzmi: „Strzelanie powinno być Twoją ostatnią deską ratunku. Jeżeli masz choć najmniejszy pomysł na to, która odpowiedź może być poprawna, zaznacz ją”. Oczywiście mówimy tutaj o zadaniach zamkniętych, których po prostu nie jesteś w stanie rozwiązać.

Co trzeba umieć na maturę?

Przedmiotami obowiązkowymi są język polski, matematyka i język obcy nowożytny (np. angielski, niemiecki, francuski). Dodatkowo absolwenci szkół i oddziałów, w których naucza się języków mniejszości narodowych, przystępują do egzaminu z języka danej mniejszości.

Najważniejsze wzory na maturze z matematyki 2022

Najważniejsze wzory na maturze z matematyki 2022

Najważniejsze wzory na maturze z matematyki 2022

Informacje o tablicach maturalnych

Tablice matematyczne są legalną ściągą na egzaminie. w tablicach znajdziesz osiemnaście rozdziałów. Przed rozpoczęciem nauki do matury najlepiej wydrukuj ją oraz dokładnie przejrzyj.

W dalszej części przed każdym działem przedstawię Ci wszystkie potrzebne wzory oraz informacje, jakie powinieneś przyswoić, zaczynając naukę do zadań z danego tematu.

Po tym, jak wydrukujesz tablice maturalne, bardzo ważne jest, żebyś przeczytał, jakie informacje się w niej znajdują, i dokładnie rozumiał ich zawartość. Nie musisz znać wszystkich wzorów na pamięć; najważniejsze jest, żebyś umiał ich używać w praktyce. Po tym, jak przeczytasz zadanie, kluczowe jest, żebyś otworzył tablice na odpowiednim temacie i odpowiedniej stronie.

Podczas gdy będziesz rozwiązywał konkretne zadanie, napisz obok wzór znajdujący się w tablicach maturalnych. Prędzej czy później sam odkryjesz poszczególne schematy rozwiązywania ich oraz to, jak często podobne przykłady się powtarzają.

Najważniejsze wzory spoza tablic

Przedstawiam Ci wzory, które uzupełniają te podane w tablicach maturalnych. Polecam Ci dopisać te wzory do swojej karty i nauczyć się ich na pamięć, ponieważ łatwiej je wtedy zapamiętasz i szybciej rozwiążesz zadania. Podczas tłumaczenia zadań będę wracał do tych wzorów, pokazując, w jakich ćwiczeniach będą potrzebne.

Dział I: Funkcja liniowa

Wzór na funkcję liniową: y=ax+b

a – współczynnik kierunkowy; odpowiada za to, czy funkcja rośnie, maleje, czy jest stała

b– punkt przecięcia z osią OY

Z funkcji przydadzą się do zadań jeszcze podane niżej informacje.

oś odciętych – to oś x-ów

oś rzędnych– to oś y-ów

Miejsce zerowe – jest wtedy, kiedy funkcja przecina oś OX, czyli , a x posiada jakąś wartość.

Dziedzina – to zbiór wszystkich x-ów funkcji.

Zbiór wartości – to zbiór wszystkich y-ów funkcji.

Numery ćwiartek w układzie współrzędnych:

Matura z matematyki w pigułce. Szybka powtórka do egzaminu.

Czeka Cię matura z matematyki? To ostatni moment na powtórkę materiału. Jeśli chcesz uporządkować sobie wiedzę przed egzaminem dojrzałości, obejrzyj nasze pigułki wiedzy, które przygotowaliśmy razem z Krzysztofem Borkiem z kanału Matematma.

SPRAWDŹ RÓWNIEŻ: Powtórka do matury z języka polskiego

Egzamin dojrzałości zawsze była stresującym wydarzeniem, i dla młodzieży, i dla rodziców. Matura 2021 tym bardziej wiele osób przeraża, bo przygotowania do niej w pandemicznych warunkach dla wielu osób są większym wyzwaniem niż zwykle – trudniej o wsparcie nauczycieli, korepetycje czy nawet zwykłą koleżeńską pomoc. Dlatego postanowiliśmy zebrać najważniejsze tematy na maturze z matematyki w pięć filmów. Wszystkie znajdziecie poniżej wraz z listą zagadnień, które omawiają.

Matura z matematyki – powtórka w 5 krokach

Czego nauczysz się z tego wideo?

Jakie to są liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste.

Jakie to są liczby przeciwne i odwrotne.

Jakie to są liczby pierwsze i złożone.

Jak wykonywać działania na procentach.

Jak wykonywać działania na potęgach.

Jak wykonywać działania na pierwiastkach.

Jak wykonywać działania na logarytmach.

Dzięki temu wideo przypomnisz sobie:

Co to są funkcje liniowe?

Co to są funkcje kwadratowe?

Co to są funkcje trygonometryczne?

W tym materiale Krzysztof objaśnia:

równania liniowe,

nierówności liniowe,

równania kwadratowe,

nierówności kwadratowe.

Tym razem omawiane są:

własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

Jak wyznaczać wzór na n-ty wyraz ciągu?

Jak obliczać sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego?

Jak obliczać różnicę ciągu arytmetycznego?

Jak obliczać iloraz ciągu geometrycznego?

W tym odcinku:

symetralna odcinka,

znajdowanie punktu przecięcia prostych,

kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku,

ważny wzór na pole trójkąta,

obliczanie rombu na trzy sposoby,

własności sześcianu,

graniastosłup prawidłowy trójkątny.

Mamy nadzieję, że nasza powtórka z matematyki w pigułce pomoże Wam uporać się z egzaminem bez stresu. Zależy nam, żeby te materiały pomogły jak największej liczbie uczniów, więc jeśli uważasz je za wartościowe, podeślij je tegorocznym maturzystom.

Matura z matematyki. Co warto powtórzyć i zapamiętać przed egzaminem? [POWTÓRKA oraz ARKUSZE Z UBIEGŁYCH LAT]

Już w przyszłą środę uczniowie liceów oraz techników zmierzą się z maturą z matematyki. Dla wielu z nich jest to najtrudniejsza część testów. Aby nieco obniżyć poziom stresu i uspokoić przed nadchodzącym egzaminem dojrzałości, przygotowaliśmy rady, co najlepiej sobie powtórzyć lub przypomnieć. Zamieszczamy także arkusze matur z matematyki z kilku ostatnich lat, które można przerobić, wykorzystując pozostały tydzień. Dzięki temu rozwiązanie trudniejszych zadań może okazać się dużo łatwiejsze i mniej czasochłonne.

Kiedy odbędzie się matura z matematyki 2021?

Tegoroczna matura z matematyki odbędzie się w środę – 5 maja. Z poziomem podstawowym uczniowie zmierzą się o godz. 9:00 (czas trwania: 170 minut), a z poziomem rozszerzonym o godz. 14:00 (czas trwania: 180 minut). Wyniki egzaminu maturalnego zostaną ogłoszone 5 lipca 2021 r.

Co będzie na tegorocznej maturze z matematyki? Powtórka

Przed przystąpieniem do matury dobrze jest przypomnieć sobie najważniejsze zagadnienia, które najprawdopodobniej pojawią się i tym razem. Dzięki temu łatwiej poradzicie sobie z trudniejszymi zadaniami i nie będziecie tracić czasu na niepotrzebne szukanie informacji ukrytych głęboko w pamięci lub zawartych w kartach wzorów matematycznych dostępnych podczas testu. Tematy, które niemal za każdym razem pojawiają się na maturze z matematyki to: wartość bezwzględna

układy równań

ciągi arytmetyczne

geometria przestrzenna i trygonometria

rachunek prawdopodobieństwa

procenty

potęgi i pierwiastki

logarytmy

funkcja kwadratowa

funkcja liniowa

zbiory

Warto dodać, że podczas egzaminu można korzystać z linijki, cyrkla oraz kalkulatora prostego. Do zapisywania odpowiedzi lub obliczeń można używać jedynie czarnego długopisu lub pióra. Uwaga! Rzeczy zapisane w brudnopisie nie są brane pod uwagę.

Matura z matematyki 2021. Przecieki

W Internecie od kilku tygodni można znaleźć przecieki, które informują o tym, co dokładnie ma się pojawić na tegorocznej maturze z matematyki. Uwaga, nie dajcie się nabrać! Arkusze egzaminacyjne są naprawdę bardzo dobrze chronione, więc jakikolwiek wyciek jest mało prawdopodobny. Jednak na podstawie arkuszy z ostatnich lat można wytypować, jakie rodzaje zadań pojawią się i tym razem. Warto je przećwiczyć, aby podczas prawdziwego egzaminu łatwiej i szybciej je rozwiązać.

Matura 2020 z matematyki poziom podstawowy. Przykładowe zadania

Matura z matematyki to niewątpliwie jeden z najtrudniejszych egzaminów dojrzałości. To właśnie on przysparza zdającym najwięcej problemów.

Arkusz egzaminacyjny składa się z trzech grup zadań: zadania zamknięte. Dla każdego z tych zadań zdający wskazuje jedną właściwą odpowiedź. Zadania punktowane są w skali 0-1. zadania otwarte krótkiej odpowiedzi. Zadania punktowane są w skali 0–2, 0–3 lub 0–4. zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi. Rozwiązując zadania z tej grupy, zdający w szczególności ma wykazać się umiejętnością rozumowania oraz dobierania własnych strategii matematycznych do nietypowych warunków. Zadania punktowane są w skali 0–5, 0–6 lub 0–7. Aby pomóc tegorocznym maturzystom w lepszym przygotowaniu do testu, przedstawiamy przykładowe zadania z matury 2020: Równanie ( )( )2

xx x −=− 2 2 w zbiorze liczb rzeczywistych

A. nie ma rozwiązań.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 2 .

C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0 .

D. ma dwa różne rozwiązania: x =1 i x = 2 .

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których

cyfry się nie powtarzają?

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 Wartość wyrażenia 2

x x − + 6 9 dla x = + 3 3 jest równa

A. 1 B. 3 C. 1 23 + D. 1 23 Ciąg ( ) n a jest określony wzorem 2 2 n a n = dla n ≥1. Różnica 5 4 a a − jest równa

A. 4 B. 20 C. 36 D. 18 Prosta przechodząca przez punkty A = − ( ) 3, 2 i B = −( ) 1,6 jest określona równaniem

A. y =− + 2 4 x B. y =− − 2 8 x C. y x = + 2 8 D. y x = − 2 4

Cenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y. Aby przywrócić cenę x, nową

cenę y należy podnieść o

A. 25% B. 20% C. 15% D. 12%

Arkusze maturalne z poprzednich lat

FACEBOOK Dołącz do nas na Facebooku! Publikujemy najciekawsze artykuły, wydarzenia i konkursy. Jesteśmy tam gdzie nasi czytelnicy! Polub nas na Facebooku! TWITTER Dołącz do nas na Twitterze! Codziennie informujemy o ciekawostkach i aktualnych wydarzeniach. Obserwuj nas na Twiterze! KONTAKT Kontakt z redakcją Byłeś świadkiem ważnego zdarzenia? Widziałeś coś interesującego? Zrobiłeś ciekawe zdjęcie lub wideo? Napisz do nas!

Jak przygotować się do matury z matematyki?

Jak przygotować się do matury z matematyki?

Agnieszka Ułanowicz-Święch, Marcin Boryc

Matematyka jest trzecim, oprócz języka polskiego i języka obcego, przedmiotem obowiązkowym na egzaminie maturalnym. Jedni maturę z matematyki chcą po prostu „zaliczyć”, innym zależy, żeby zdać ją jak najlepiej, aby dostać się na wymarzone studia. Niezależnie od tego, do której grupy należycie, ważne jest, żeby wiedzieć, jak przygotować się do tego egzaminu. Mamy nadzieję, że informacje, które chcemy Wam przekazać, podpowiedzą, jak to zrobić.

Zapoznajcie się z proceduram

Matura z matematyki na poziomie podstawowym w 2021 roku będzie trwała 170 minut (jak w latach poprzednich) i będzie składała się z 28 zadań zamkniętych i 7 zadań otwartych (krótkiej odpowiedzi i długiej odpowiedzi). Za bezbłędne rozwiązanie całego arkusza będzie można zdobyć 45 punktów (o 5 mniej niż w latach poprzednich).

Podczas egzaminu maturalnego z matematyki będziecie mogli korzystać z karty wzorów i tablic matematycznych, opracowanych przez Centralną Komisję Egzaminacyjną:

EGZAMIN_MATURALNY_Wybrane_wzory_matematyczne, udostępnionych każdemu zdającemu przez szkołę. Każdy zdający na salę egzaminacyjną powinien przynieść kalkulator prosty, linijkę, cyrkiel, długopis z czarnym tuszem i oczywiście dowód tożsamości.

Zapoznajcie się z informatorem o egzaminie maturalnym z matematyki opracowanym przez CKE: EGZAMIN_MATURALNY_Informator_Matematyka, a także, co najważniejsze w tym roku, z Aneksem: EGZAMIN_MATURALNY_Aneks_2021. W tych dokumentach znajdziecie ogólne informacje o egzaminie z matematyki, wymaganiach, zasadach oceniania zadań, a także przykładowe zadania z rozwiązaniami.

Zaplanujcie pracę

Z uwagi na to, że na maturze z matematyki można korzystać z tablic i nie wszystkich wzorów trzeba nauczyć się na pamięć, powinniście dokładnie zapoznać się z tym, co można znaleźć w karcie wzorów: EGZAMIN_MATURALNY_Wybrane_wzory_matematyczne.

Materiał obowiązujący na maturze można podzielić

na następujące działy:

liczby rzeczywiste,

wyrażenia algebraiczne,

równania i nierówności,

funkcje i ich własności,

trygonometria,

ciągi liczbowe,

geometria analityczna,

planimetria,

stereometria,

elementy statystyki i rachunek prawdopodobieństwa.

Zróbcie plan swoich przygotowań do egzaminu na podstawie kalendarza roku szkolnego. Nie zostawiajcie wszystkiego na ostatni moment, uczcie się spokojnie i systematycznie. Naszym zdaniem, najlepszym sposobem będzie rozwiązywanie zadań maturalnych najpierw z poszczególnych działów, a następnie, na miesiąc przed maturą, rozwiązywanie całych arkuszy maturalnych. Dzięki temu poznacie rodzaje zadań, które pojawiają się na maturze oraz sposoby ich rozwiązania. Zauważycie też, że sposoby te opierają się na pewnych schematach, które jesteście w stanie opanować, ćwicząc je systematycznie. Jednym słowem — ćwiczcie i jeszcze raz ćwiczcie.

Pewnie zastanawiacie się, skąd czerpać zadania, które warto rozwiązać, przygotowując się do egzaminu. Poniżej znajdziecie kilka naszych propozycji.

Informator maturalny: EGZAMIN_MATURALNY_Informator_Matematyka. Polecamy zbiory zadań w formie papierowej, np.:

„Teraz matura. Zbiór zadań i zestawów maturalnych”, wyd. Nowa Era;

„Zbiór zadań maturalnych Matematyka”, wyd. Omega;

„Zbiór zadań maturalnych”, wyd. OE Krzysztof Pazdro.

3. Zachęcamy również do korzystania z zasobów Internetu. Polecamy m.in.: portal www.matemaks.pl, a w nim dział: powtórka do matury.

Podczas rozwiązywania całych arkuszy maturalnych proponujemy skorzystać z zasobów CKE: egzamin w nowej formule, a także ze strony arkusze.pl, gdzie oprócz arkuszy maturalnych znajdziecie propozycje rozwiązań i schematy punktowania, które mogą stanowić dodatkowo cenne źródło podczas przygotowywań do egzaminu. Ponadto na stronie Zadania.info od początku marca co tydzień będą zamieszczane przykładowe próbne arkusze maturalne.

Postawcie sobie realne cele

Jak już wspomnieliśmy, jedni maturę z matematyki chcą po prostu „zdać”, innym zależy na jak najlepszych wynikach, aby dostać się na wymarzone studia. Absolutne minimum, by zdać ten egzamin, wymaga skupienie się na prostszych treściach i typach zadań, które bardzo często się pojawiają. Pod tym linkiem znajdziecie informacje, jakie zadania i treści pojawiały się do tej pory najczęściej na egzaminach maturalnych: Matura. Najważniejsza wiedza. Rozwiązując arkusze, z pewnością sami zauważycie pewne schematy w doborze zadań maturalnych i ocenicie, które z nich idą Wam najlepiej.

Pracujcie samodzielnie

Samodzielna nauka jest bardzo ważna, pozwala zdiagnozować, z którymi zagadnieniami macie problem. Rozwiązując zadania i zestawy maturalne, sprawdzajcie swoje odpowiedzi z kluczami rozwiązań. Jeśli popełniacie błędy, nie poddawajcie się! Możecie korzystać z repetytoriów, poszukać informacji w Internecie albo poprosić o pomoc nauczyciela na konsultacjach.

Pracujcie codziennie. Jeśli codzienna porcja zadań z matematyki wejdzie Wam w nawyk, zadania okażą się coraz łatwiejsze do rozwiązania. Taka postawa pomoże Wam wyrobić dobre nastawienie do pracy i myśleć pozytywnie o sukcesie na egzaminie maturalnym z matematyki.

Życzymy siły do pracy oraz sukcesów na egzaminie maturalnym!

Bibliografia:

Pewniaki maturalne

Pewniaki maturalne

zadania treningowe od CKE Poniżej prezentuje typy zadań najczęściej pojawiające się na maturze podstawowej z matematyki w nowej formule (od 2015 roku). Pewniaki są aktualne dla najbliższej matury 2022. Polecam również przerobić kursie do matury podstawowej. Wśród podanych przykładów znajdują się jedynie wybrane typy zadań. Pełną wiedzę niezbędną do zdania matury na 100% znajdziesz w

20 30 40 50 60 70 80 90 . Szybka nawigacja do zadania numer: 10

Typ I – zadania z potęg i pierwiastków Na maturze bardzo często pojawiają się zadania sprawdzające umiejętność wykonywania działań na potęgach, pierwiastkach. Oto przykłady takich zadań:

A.\( 4^4 \) B.\( 20^{16} \) C.\( 20^5 \) D.\( 4 \) Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa D

A.\( a^{-3{,}9} \) B.\( a^{-2} \) C.\( a^{-1{,}3} \) D.\( a^{1{,}3} \) Dla każdej dodatniej liczba \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}\) jest równy A

A.\( 45^{40} \) B.\( 45^9 \) C.\( 9^4 \) D.\( 5^4 \) Liczba \(\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}\) jest równa D

A.\( \sqrt{\frac{16}{63}} \) B.\( \frac{16}{3\sqrt{7}} \) C.\( 1 \) D.\( \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} \) Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa B

Typ II – procenty Równie często na maturze podstawowej pojawiają się zadania z procentów (zazwyczaj jest jedno takie zadanie za 1 punkt) tego typu:

A.\( c=1{,}5a \) B.\( c=1{,}6a \) C.\( c=0{,}8a \) D.\( c=0{,}16a \) Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że A

A.\( 80 \) B.\( 20 \) C.\( 22 \) D.\( 44 \) Buty, które kosztowały \(220\) złotych, przeceniono i sprzedano za \(176\) złotych. O ile procent obniżono cenę butów? B

A.zwiększy się o \( 8\% \) B.zwiększy się o \( 4\% \) C.zmniejszy się o \( 8\% \) D.zmniejszy się o \( 4\% \) Dany jest prostokąt o wymiarach \(40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm}\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta D

A.\( 1000\cdot \left ( 1+\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) B.\( 1000\cdot \left ( 1-\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) C.\( 1000\cdot \left ( 1-\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) D.\( 1000\cdot \left ( 1+\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) Kwotę \(1000\) zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa A

Typ III – logarytmy Na maturze praktycznie zawsze pojawia się przynajmniej jedno zadanie na liczenie logarytmów. Oto przykładowe zadania:

A.\( \frac{3}{2} \) B.\( 2 \) C.\( \frac{5}{2} \) D.\( 3 \) Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa D

A.\( \log_6693 \) B.\( 3 \) C.\( \log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4} \) D.\( 4 \) Liczba \(\frac{\log_3729}{\log_636}\) jest równa B

A.\( 3 \) B.\( \frac{1}{3} \) C.\( -\frac{1}{3} \) D.\( -9 \) Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27}\), \(b=\log_{\frac{1}{4}}64\), \(c=\log_{\frac{1}{3}}27\). Iloczyn \(abc\) jest równy C

A.\( -3 \) B.\( -2\frac{1}{4} \) C.\( -2 \) D.\( 0 \) Wartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa C

Typ IV – równania i nierówności liniowe oraz funkcja liniowa Jednym z ważniejszych pojęć na maturze podstawowej jest funkcja liniowa i związane z nią równania oraz nierówności. Zazwyczaj z tego zagadnienia pojawia się na maturze od 2 do 5 zadań. Z funkcji liniowych szczególnie często zdarzają się zdania sprawdzające umiejętność liczenia miejsc zerowych, oraz badanie równoległości i prostopadłości prostych.

A.ma dokładnie dwa rozwiązania \( x=0 \), \(x=1\) B.ma dokładnie jedno rozwiązanie \( x=-1 \) C.ma dokładnie jedno rozwiązanie \( x=0 \) D.ma dokładnie jedno rozwiązanie \( x=1 \) Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\) A

A.nie ma rozwiązań rzeczywistych. B.ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C.ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. D.ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. Równanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x

e -5\), A

A.\( -14 \) B.\( -13 \) C.\( 13 \) D.\( 14 \) Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt 0\) jest B

A.\( -2 \) B.\( -1 \) C.\( 0 \) D.\( 1 \) Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x − 2) \le 4(x −1)+1\) jest C

A.\( m=-5 \) B.\( m=1 \) C.\( m=4 \) D.\( m=5 \) Równość \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla C

A.\( 8 \) B.\( 6 \) C.\( -6 \) D.\( -8 \) Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba D

A.\( b=-\frac{8}{3} \) B.\( b=\frac{4}{3} \) C.\( b=4 \) D.\( b=-\frac{3}{2} \) Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że A

A.\( (0,-3) \) B.\( (-3,0) \) C.\( (0,2) \) D.\( (0,3) \) Wykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych A

A.\( m=2 \) B.\( m=-2 \) C.\( m=-2-2\sqrt{2} \) D.\( m=2+2\sqrt{2} \) Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem: A

A.\( m=-\frac{1}{2} \) B.\( m=\frac{1}{2} \) C.\( m=1 \) D.\( m=2 \) Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla A

A.\( m=2 \) B.\( m=\frac{1}{2} \) C.\( m=\frac{1}{3} \) D.\( m=-2 \) Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy C

Typ V – równania i nierówności kwadratowe oraz funkcja kwadratowa Zadania związane z funkcją kwadratową, to na każdej maturze punkt obowiązkowy. Musimy umieć znajdować miejsca zerowe funkcji kwadratowej (czyli rozwiązywać równania kwadratowe), wierzchołek oraz zapisywać w różnych postaciach funkcję kwadratową (ogólna, iloczynowa i kanoniczna). Musimy również umieć rysować wykresy funkcji kwadratowej, co szczególnie przydaje się podczas rozwiązywania nierówności kwadratowych (praktycznie zawsze pojawia się na maturze takie zadanie za 2 punkty). Często również pojawiają się zadania na znajdowanie wartości ekstremalnych funkcji kwadratowych na przedziałach domkniętych. Dokładniejsze omówienie tych wszystkich zagadnień znajdziesz w Zadania związane z funkcją kwadratową, to na każdej maturze punkt obowiązkowy. Musimy umieć znajdować miejsca zerowe funkcji kwadratowej (czyli rozwiązywać równania kwadratowe), wierzchołek oraz zapisywać w różnych postaciach funkcję kwadratową (ogólna, iloczynowa i kanoniczna). Musimy również umieć rysować wykresy funkcji kwadratowej, co szczególnie przydaje się podczas rozwiązywania nierówności kwadratowych (praktycznie zawsze pojawia się na maturze takie zadanie za 2 punkty). Często również pojawiają się zadania na znajdowanie wartości ekstremalnych funkcji kwadratowych na przedziałach domkniętych. Dokładniejsze omówienie tych wszystkich zagadnień znajdziesz w kursie do matury podstawowej (części: 14-15 oraz 26-30), a poniżej przykładowe, najczęstsze typy zadań:

A.\( a=3 \) B.\( a=1 \) C.\( a=-2 \) D.\( a=-3 \) Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla A

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \). \(f_{max}=3\) oraz \(f_{min}=-6\)

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt (x+3)(x-2)\). \(x\in (-\infty ;2)\cup (3;+\infty )\)

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt 3x^2-6x\). \(x\in (0;2)\)

Rozwiąż nierówność \(20x \ge 4x^2 + 24\). \(x\in \langle 2;3\rangle \)

Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\ge (x-2)(x-8)\) \(x\in (-\infty ,-4\rangle \cup \langle 2,+\infty )\)

Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\). \(a=-\frac{1}{4}\), \(b=3\), \(c=0\)

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1;2 \rangle \) jest równa A.\( 2 \) B.\( 5 \) C.\( 8 \) D.\( 9 \) Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1;2 \rangle \) jest równa B

A.\( a\lt -1 \) B.\( -1\le a\lt 0 \) C.\( 0\le a\lt \frac{1}{3} \) D.\( a\gt \frac{1}{3} \) Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek D

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle \). \(-30\frac{1}{4}\)

Typ VI – różne zadania z funkcji Częstym na maturze zdarza się zadanie, w którym należy wyznaczyć zbiór wartości funkcji danej na wykresie, lub odgadnąć przesunięcie. Oto przykładowe takie zadania:

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest A.\( (-2,2\rangle \) B.\( \langle -2,2\rangle \) C.\( \langle -2,2) \) D.\( (-2,2) \) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest A

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział A.\( (-\infty ;-2\rangle \) B.\( \langle -2;4 \rangle \) C.\( \langle 4;+\infty ) \) D.\( (-\infty ;9\rangle \) Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział D

\(f(x)=2x-3\) o \(2\) jednostki w prawo i \(4\) jednostki w górę, to otrzymamy wykres funkcji opisanej wzorem A.\( y=2(x-2)+4 \) B.\( y=2(x-2)-4 \) C.\( y=2(x-2)+1 \) D.\( y=2(x+2)+4 \) Gdy przesuniemy wykres funkcjio \(2\) jednostki w prawo i \(4\) jednostki w górę, to otrzymamy wykres funkcji opisanej wzorem C

A.\( g(x)=f(x-1) \) B.\( g(x)=f(x)-1 \) C.\( g(x)=f(x+1) \) D.\( g(x)=f(x)+1 \) Funkcja \(g\) jest określona wzorem B

Typ VII – układy równań Często na maturze jest jedno zadanie z układu równań następujących typów:

A.nie ma rozwiązań. B.ma dokładnie jedno rozwiązanie. C.ma dokładnie dwa rozwiązania. D.ma nieskończenie wiele rozwiązań. Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \) D

A.zbiór nieskończony. B.dokładnie 2 różne punkty. C.dokładnie jeden punkt. D.zbiór pusty. Układ równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0{,}5y=4 \end{cases} \) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie C

Typ VIII – wartość bezwzględna i błędy Czasami na maturze jest jedno zadanie z wartości bezwzględnej lub błędów względnych i bezwzględnych. Oto przykładowe zadania jakie mogą się pojawić:

A.\( 2 \) B.\( -2 \) C.\( 0 \) D.\( -4 \) Liczba \(\frac{|3-9|}{-3}\) jest równa B

kolejne lata 1 2 3 4 5 6 przyrost (w cm) 10 10 7 8 8 7 Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach. W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach. \(4\%\)

Typ IX – trygonometria Zadania z trygonometrii pojawiają się a każdej maturze podstawowej. Oto najczęstsze typy:

A.\( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{26} \) B.\( \sin \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13} \) C.\( \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} \) D.\( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13} \) Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy C

\( \sin 150^\circ \) jest równa liczbie A.\( \cos 60^\circ \) B.\( \cos 120^\circ \) C.\( \operatorname{tg} 120^\circ \) D.\( \operatorname{tg} 60^\circ \) Liczbajest równa liczbie A

A.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \) B.\( \cos \beta =\frac{\sqrt{6}}{3} \) C.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3} \) D.\( \operatorname{tg} \beta =\frac{\sqrt{6}}{2} \) Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha \) i \(\beta \), w którym \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Wtedy B

Dana jest liczba \(a=\sin 72^\circ \). Zapisz liczbę \(1+\operatorname{tg}^2 72^\circ \) w zależności od \(a\). \(\frac{1}{1-a^2}\)

A.\( 2-\frac{3\sqrt{3}}{2} \) B.\( 2+\frac{\sqrt{3}}{2} \) C.\( 4-\frac{\sqrt{3}}{2} \) D.\( 4+\frac{3\sqrt{3}}{2} \) Wartość wyrażenia \((\operatorname{tg} 60^\circ +\operatorname{tg} 45^\circ )^2-\sin 60^\circ \) jest równa D

Jedno z ramion kąta \(\alpha \) przechodzi przez punkt \(P=(-4,3)\). Wtedy: A.\( \cos \alpha = \frac{4}{5} \) B.\( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) C.\( \cos \alpha = -\frac{4}{3} \) D.\( \cos \alpha = -\frac{3}{4} \) W układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha \).Jedno z ramion kąta \(\alpha \) przechodzi przez punkt \(P=(-4,3)\). Wtedy: B

Typ X – ciąg arytmetyczny i geometryczny Zadania z ciągów zawsze pojawiają się na maturze. Zawsze są przynajmniej dwa zadania z tego zagadnienia. Poniżej prezentuję najczęstsze typy zadań z ciągów:

A.\( \frac{37}{2} \) B.\( -\frac{37}{2} \) C.\( -\frac{5}{2} \) D.\( \frac{5}{2} \) Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(\left (-\frac{3}{2}\right )\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy A

A.\( 77 \) B.\( 84 \) C.\( 91 \) D.\( 98 \) Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba C

A.\( q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \) B.\( q=\frac{1}{3} \) C.\( q=3 \) D.\( q=\sqrt[3]{3} \) W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy D

A.\( x=-3 \) B.\( x=-1 \) C.\( x=0 \) D.\( x=2 \) Trójwyrazowy ciąg \((x+1,x-1,2x)\) jest arytmetyczny dla A

A.\( -4 \) B.\( 1 \) C.\( 0 \) D.\( -1 \) Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy D

Typ XI – geometria płaska W geometrii najczęściej przydaje się nam twierdzenie Pitagorasa i musimy je umieć stosować na blachę (jest ono również bardzo przydatne w geometrii przestrzennej). Zadania z geometrii zazwyczaj nie są szablonowe, więc trudno tu podać konkretne typy jako pewniaki. Na pewno można wyróżnić zadania z kątami wpisanymi i środkowymi w okręgu – często się pojawiają na maturze. Także często pojawia się podobieństwo trójkątów.

Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę A.\( 15^\circ \) B.\( 20^\circ \) C.\( 25^\circ \) D.\( 30^\circ \) Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Cięciwa \(CD\) przecina średnicę \(AB\) tego okręgu w punkcie \(E\) tak, że \(|\sphericalangle BEC|=100^\circ \). Kąt środkowy \(ASC\) ma miarę \(110^\circ \) (zobacz rysunek).Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę C

Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha \) jest równa A.\( 40^\circ \) B.\( 50^\circ \) C.\( 20^\circ \) D.\( 25^\circ \) W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ \), zaznaczony na rysunku.Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha \) jest równa A

A.\( 8 \) B.\( 8{,}5 \) C.\( 9{,}5 \) D.\( 10 \) Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość B

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe A.\( 14 \) B.\( 2\sqrt{33} \) C.\( 4\sqrt{33} \) D.\( 12 \) Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek).Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe B

Typ XII – geometria przestrzenna Zadania ze stereometrii często pojawiają się za większa liczbę punktów.

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(\alpha \) o mierze A.\( 30^\circ \) B.\( 45^\circ \) C.\( 60^\circ \) D.\( 75^\circ \) Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(\alpha \) o mierze B

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. \(P=144+384\sqrt{2}\)

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa. \(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)

A.\( 36\pi \) B.\( 18\pi \) C.\( 24\pi \) D.\( 8\pi \) Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa D

Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa. \(V=21\sqrt{7}\)

Typ XIII – geometria analityczna Z geometrii analitycznej na pewno musimy umieć liczyć długość odcinka, wyznaczać równania prostych przechodzących przez dwa punkty, a także równoległych i prostopadłych, wyznaczać środek odcinka. Oto przykładowe zadania z tych zagadnień:

A.\( a=5 \) i \(b=5\) B.\( a=-1 \) i \(b=2\) C.\( a=4 \) i \(b=10\) D.\( a=-4 \) i \(b=-2\) W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że B

Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego rombu. A.\( y=-\frac{2}{3}x+\frac{11}{3} \) B.\( y=-\frac{3}{2}x+4 \) C.\( y=-x+4 \) D.\( y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2} \) Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną \(AC\) rombu \(ABCD\) oraz wierzchołki \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,5)\) tego rombu.Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego rombu. D

A.\( 8 \) B.\( 6 \) C.\( 5 \) D.\( \frac{5}{2} \) Okręgi o środkach \(S_1=(3,4)\) oraz \(S_2=(9,-4)\) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy C

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\). \(x=-7\)

Typ XIV – statystyka i rachunek prawdopodobieństwa Ze statystyki najczęściej pojawiają się zadania związane ze średnią arytmetyczną i medianą. Zadania z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa zawsze opierają się na regule mnożenia i dodawania (zadani z kostkami i monetami, losowanie kul lub liczb ze zbioru).

A.\( x=-51 \) B.\( x=-6 \) C.\( x=10 \) D.\( x=29 \) Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4, 7, 8, x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem A

A.\( x=3 \) B.\( x=5 \) C.\( x=6 \) D.\( x=0 \) Średnia arytmetyczna zestawu danych: \[2,4,7,8,9\] jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \[2,4,7,8,9,x.\] Wynika stąd, że C

A.\( 26 \) B.\( 27 \) C.\( 28 \) D.\( 29 \) Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa C

A.\( p=\frac{3}{8} \) B.\( p=\frac{1}{4} \) C.\( p=\frac{2}{3} \) D.\( p=\frac{1}{2} \) W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy A

A.\( 0\le p\le 0{,}2 \) B.\( 0{,}2\le p\le 0{,}35 \) C.\( 0{,}35\lt p\le 0{,}5 \) D.\( 0{,}5\lt p\le 1 \) Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy C

A.\( 12 \) B.\( 24 \) C.\( 29 \) D.\( 30 \) Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \(3\)? D

Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba \(5\). \(\frac{4}{21}\)

Pewniaki na STARĄ podstawę programową Poniżej prezentuję pewniaki do “starej” podstawy programowej.

A.\( 73{,}20 \) zł B.\( 49{,}18 \) zł C.\( 60{,}22 \) zł D.\( 82 \) zł Cena towaru bez podatku VAT jest równa \(60\) zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości \(22\%\) kosztuje A

A.\( 24400 \) zł B.\( 24700 \) zł C.\( 24000 \) zł D.\( 24300 \) zł Samochód kosztował \(30000\) zł. Jego cenę obniżono o \(10\%\), a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o \(10\%\). Po tych obniżkach samochód kosztował D

\(81^2\cdot 9^4\) jest równy A.\( 3^4 \) B.\( 3^0 \) C.\( 3^{16} \) D.\( 3^{14} \) Iloczynjest równy C

\(\log_{3}9-\log_{3}1\) jest równa A.\( 0 \) B.\( 1 \) C.\( 2 \) D.\( 3 \) Różnicajest równa C

A.\( |x-1| \lt 3 \) B.\( |x+1| \lt 3 \) C.\( |x+1| > 3 \) D.\( |x-1| > 3 \) Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. B

\(|x-2| \ge 3\) . Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności B

\(x=5+2\sqrt{3}\) jest równy A.\( 37 \) B.\( 25+4\sqrt{3} \) C.\( 37+20\sqrt{3} \) D.\( 147 \) Kwadrat liczbyjest równy C

A.nie ma rozwiązań. B.ma dokładnie jedno rozwiązanie. C.ma dokładnie dwa rozwiązania. D.ma dokładnie cztery rozwiązania. Równanie \(\frac{x^2-4}{(x-4)(x+4)}=0\) C

\(f(x)=(m−1)x+6\) jest rosnąca A.\( m=-1 \) B.\( m=0 \) C.\( m=1 \) D.\( m=2 \) Wskaż \(m\), dla którego funkcja liniowajest rosnąca D

A.\( 8 \) B.\( 14 \) C.\( 17 \) D.\( 6 \) W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) mamy: \(a_2=5\) i \(a_4=11\). Oblicz \(a_5\). B

\(a_1=2\) i \(a_2=12\) . Wtedy A.\( a_4=26 \) B.\( a_4=432 \) C.\( a_4=32 \) D.\( a_4=2592 \) W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są:. Wtedy B

A.\( \frac{1}{4} \) B.\( \frac{\sqrt{3}}{4} \) C.\( \frac{\sqrt{7}}{4} \) D.\( \frac{7}{16} \) Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha \) jest równy C

\(y=-\frac{1}{4}x+7\) . Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej \(l\). A.\( y=\frac{1}{4}x+1 \) B.\( y=-\frac{1}{4}x-7 \) C.\( y=4x-1 \) D.\( y=-4x+7 \) Prosta \(l\) ma równanie. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej \(l\). C

\(y=2x+3\) oraz \(y=-\frac{1}{3}x+2\) A.są równoległe i różne B.są prostopadłe C.przecinają się pod kątem innym niż prosty D.pokrywają się Proste o równaniachoraz C

Rozwiąż nierówność \(x^2−14x+24 \gt 0\) . \(x\in (-\infty ;2)\cup (12;+\infty )\)

Rozwiąż równanie \(x^3−3x^2+2x−6=0\) . \(x=3\)

Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\). \(x=14\), \(y=126\), \(z=378\)

Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości \(B\) do miejscowości \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści? \(v_1=7\) km/h, \(v_2=14\) km/h

zakres materiału. Czego nie będzie na maturze z matematyki?

Nadciąga matura 2022! Zmiany w porównaniu z poprzednimi latami są spore, a wymagania czy to z języka polskiego, czy z matematyki okrojono ku uciesze uczniów. Czego nie będzie na maturze z matematyki 2022? Co wciąż może się pojawić na poziomie podstawowym? I jak najskuteczniej wykorzystać ostatnie tygodnie przed maturą? Podpowiadamy!

Zmiany na maturze z matematyki w 2022 roku

Nauczanie zdalne w okresie pandemii przyniosło mnóstwo problemów – np. braki w przygotowaniu do egzaminu maturalnego. Z tego względu na mocy rozporządzenia Ministra Edukacji i Nauki kilka najtrudniejszych zagadnień „wypadło” z podstawy programowej. Do wielu przedmiotów w informatorze maturalnym CKE załączyła aneks – określa zmienioną podstawę prawną, wymagania egzaminacyjne na maturę 2022 i zmiany w formule egzaminu, w tym rodzaje anulowanych zadań. Kilku nowych wytycznych doczekał się także egzamin ósmoklasisty.

Zmiany są naprawdę duże i dotyczą nie tylko matury z przedmiotów obowiązkowych: matematyki, języka polskiego i wybranego języka obcego nowożytnego, ale również z przedmiotów dodatkowych – zarówno na poziomie podstawowym, jak i na poziomie rozszerzonym. Zdecydowanie warto z tymi aneksami się zapoznać, a w przypadku matury z matematyki najważniejsze zmiany wskazujemy poniżej!

Czego nie będzie na maturze 2022 z matematyki?

Z podstawy programowej matury z matematyki 2022 wycięto zarówno poszczególne zagadnienia, jak i same typy zadań. Warto dokładnie przyjrzeć się zmianom, aby nie opuścić powtórki materiału, który nadal może się pojawić, tylko w okrojonej formie.

Jeśli chodzi o całe zagadnienia, które usunięto z podstawy programowej, są to:

błąd względny i bezwzględny,

wartości odwrotnie proporcjonalne,

bryły obrotowe.

Kilka działów okrojono z najtrudniejszych tematów. Przykłady?

Potęgi . Dział jest bardzo ważny, dlatego jego znajomość nadal obowiązuje – sporym ułatwieniem będzie natomiast brak zadań, które wymagają używania potęg w kontekście innych działów nauki, np. biologii, chemii czy fizyki. A to w praktyce oznacza mniej skomplikowanych zadań egzaminacyjnych z treścią!

. Dział jest bardzo ważny, dlatego jego znajomość nadal obowiązuje – sporym ułatwieniem będzie natomiast brak zadań, które wymagają używania potęg w kontekście innych działów nauki, np. biologii, chemii czy fizyki. A to w praktyce oznacza mniej skomplikowanych zadań egzaminacyjnych z treścią! Równania wyższego stopnia . Na maturze 2022 z matematyki nie pojawi się m.in. takie równanie: x³ = −27. Nadal jednak warto dobrze przećwiczyć ten dział. Równania drugiego stopnia z pewnością pozwolą zarobić dodatkowe punkty. Przećwicz rozwiązywanie równań typu (x²−4)(x−5) = 0.

. Na maturze 2022 z matematyki nie pojawi się m.in. takie równanie: x³ = −27. Nadal jednak warto dobrze przećwiczyć ten dział. Równania drugiego stopnia z pewnością pozwolą zarobić dodatkowe punkty. Przećwicz rozwiązywanie równań typu (x²−4)(x−5) = 0. Funkcja wykładnicza . Rysowanie wykresów funkcji wykładniczych było dla Ciebie trudne? W takim razie kamień z serca – matura 2022 z matematyki nie będzie tego od Ciebie wymagać. Funkcje wykładnicze nie pojawią się także w kontekście innych dziedzin nauki (np. fizyki czy chemii).

. Rysowanie wykresów funkcji wykładniczych było dla Ciebie trudne? W takim razie kamień z serca – matura 2022 z matematyki nie będzie tego od Ciebie wymagać. Funkcje wykładnicze nie pojawią się także w kontekście innych dziedzin nauki (np. fizyki czy chemii). Obliczanie wartości funkcji . Na maturę z matematyki 2022 nie musisz też potrafić wyznaczać największej i najmniejszej wartości funkcji kwadratowej w podanym przedziale. Mogą natomiast pojawić się zadania, w których te dane będzie trzeba odczytać z wykresu.

. Na maturę z matematyki 2022 nie musisz też potrafić wyznaczać największej i najmniejszej wartości funkcji kwadratowej w podanym przedziale. Mogą natomiast pojawić się zadania, w których te dane będzie trzeba odczytać z wykresu. Trygonometria i okręgi styczne . W arkuszu egzaminacyjnym nie pojawią się także zadania wymagające umiejętności stosowania przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych. Z podstawy egzaminacyjnej usunięto też okręgi styczne wewnętrznie i zewnętrznie. Robi się coraz łatwiej, prawda?

. W arkuszu egzaminacyjnym nie pojawią się także zadania wymagające umiejętności stosowania przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych. Z podstawy egzaminacyjnej usunięto też okręgi styczne wewnętrznie i zewnętrznie. Robi się coraz łatwiej, prawda? Podobieństwa figur i ostrosłupy . Zadania z zagadnieniem podobieństwa trójkątów obowiązują nadal, ale jakaś zmiana, choć niewielka, jest – nie trzeba umieć tej wiedzy zastosować w aspekcie praktycznym. Podobnie ma się sprawa z ostrosłupami – należy umieć obliczyć np. ich objętość, ale zależności między odcinkami i kątami zostały z wymagań usunięte (to dawało nawet 5 punktów!)

. Zadania z zagadnieniem podobieństwa trójkątów obowiązują nadal, ale jakaś zmiana, choć niewielka, jest – nie trzeba umieć tej wiedzy zastosować w aspekcie praktycznym. Podobnie ma się sprawa z ostrosłupami – należy umieć obliczyć np. ich objętość, ale zależności między odcinkami i kątami zostały z wymagań usunięte (to dawało nawet 5 punktów!) Statystyka. Średnia ważona i odchylenie standardowe wypadły z matury!

Co jeszcze zmieni się na maturze 2022? Kwestie formalne!

Egzamin maturalny z matematyki będzie trwał 170 minut – w tym zakresie żadnych zmian nie przewidziano, natomiast za całość zdobyć będzie można 45 punktów, a nie 50 jak w poprzednich latach. Zmniejszy się również liczba zadań otwartych – z 9 na 7, a za nie otrzymać będzie można tylko 17 punktów.

Pozostałe 28 punktów (czyli aż 62%) możesz zdobyć na samych zadaniach zamkniętych. Aby zatem zdać maturę z matematyki 2022, musisz odpowiedzieć poprawnie tylko na połowę zadań zamkniętych. Te zmiany w połączeniu z okrojeniem samego zakresu materiału sprawią, że matura powinna być nieco prostsza!

W ramach egzaminu dojrzałości trzeba wciąż przystąpić do przynajmniej jednego przedmiotu dodatkowego na poziomie rozszerzonym. W 2022 r. maturzyści nie będą natomiast zdawać żadnego egzaminu ustnego, chyba że jest to konieczne w indywidualnej sytuacji (np. w związku z rekrutacją na zagraniczną uczelnię). Wystarczy podejście do części pisemnej.

W 2022 r. zadania egzaminacyjne na maturze będą więc sprawdzać umiejętności określone w wymaganiach egzaminacyjnych z rozporządzenia Ministerstwa Edukacji, a nie (jak w okresie przed pandemią) na podstawie wymagań egzaminacyjnych określonych w podstawie programowej kształcenia ogólnego.

Matura 2022 z matematyki – zakres materiału na poziomie podstawowym

A jakie zagadnienia obejmuje matura 2022? Wymagania (matematyka na poziomie podstawowym i rozszerzonym), dokładnie rozpisane, znajdziesz w informatorze CKE. Standardowo na maturze pojawiają się zadania z kilku działów.

Liczby rzeczywiste (np. różne postaci liczb, wyrażenia arytmetyczne, prawa działań na pierwiastkach, logarytmy, potęgi o wykładnikach wymiernych, osie liczbowe i przedziały, obliczenia procentowe np. podatki, zyski z lokat).

(np. różne postaci liczb, wyrażenia arytmetyczne, prawa działań na pierwiastkach, logarytmy, potęgi o wykładnikach wymiernych, osie liczbowe i przedziały, obliczenia procentowe np. podatki, zyski z lokat). Wyrażenia algebraiczne (w tym wzory skróconego mnożenia).

(w tym wzory skróconego mnożenia). Równania i nierówności (np. nierówności pierwszego stopnia, równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą, proste równania wymierne).

(np. nierówności pierwszego stopnia, równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą, proste równania wymierne). Funkcje (np. wartości funkcji dla danego argumentu, odczytywanie własności funkcji z wykresu, wzory funkcji liniowej i kwadratowej).

(np. wartości funkcji dla danego argumentu, odczytywanie własności funkcji z wykresu, wzory funkcji liniowej i kwadratowej). Ciągi (np. wyznaczanie wyrazu ciągu na podstawie wzoru ogólnego, badanie, czy ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny, wzory na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego).

(np. wyznaczanie wyrazu ciągu na podstawie wzoru ogólnego, badanie, czy ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny, wzory na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego). Trygonometria (np. wyznaczanie wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°, obliczanie miar kąta ostrego).

(np. wyznaczanie wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°, obliczanie miar kąta ostrego). Planimetria (np. zależności między kątem środkowym i wpisanym czy cechy podobieństwa trójkątów i własności stycznej do okręgu).

(np. zależności między kątem środkowym i wpisanym czy cechy podobieństwa trójkątów i własności stycznej do okręgu). Geometria i stereometria (np. równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, współrzędne punktu przecięcia prostych, kąty między odcinkami graniastosłupów i ich miary, pola powierzchni i objętości graniastosłupów).

(np. równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, współrzędne punktu przecięcia prostych, kąty między odcinkami graniastosłupów i ich miary, pola powierzchni i objętości graniastosłupów). Statystyka (np. obliczanie prawdopodobieństwa w sytuacjach prostych oraz zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych).

Jak przygotowywać się do matury z matematyki w ostatnich tygodniach?

Na maturę w 2022 r. wymagania z matematyki są odrobinę okrojone, natomiast takie rozwiązanie zastosowano już w roku ubiegłym. Możesz więc przejrzeć i rozwiązać arkusze maturalne 2021, które znajdziesz na naszej stronie – w zakładce Arkusze próbne – i sprawdzić swoją wiedzę w praktyce. Dzięki arkuszom oswajasz się z formą egzaminu, planujesz „strategię” maturalną czy zmniejszasz swój stres – w ostatnich tygodniach przed maturą takie przygotowania są najskuteczniejsze!

A jeśli jesteś szczęśliwcem, któremu do egzaminu maturalnego został jeszcze ponad rok, zapraszamy na kurs przygotowawczy z matematyki Gigantów Edukacji – nasi uczniowie zdają maturę z matematyki średnio na ponad 80%!

FAQ:

Co będzie wymagane na maturze 2022 z matematyki?

Zakres materiału, który może pojawić się na egzaminach maturalnych z matematyki w 2022 r., znajdziesz w informatorze egzaminu materialnego (przygotowanym przez CKE). Dodatkowo w tym roku obowiązują aneksy dołączone do informatora, które zmieniają wymagania. Sporą część zagadnień usunięto z podstawy programowej.

Czego nie będzie na maturze 2022 z matematyki?

Na maturze z matematyki 2022 nie będzie m.in. brył obrotowych, błędu względnego i bezwzględnego oraz wartości odwrotnych proporcjonalnie. Z wielu działów usunięto najtrudniejsze zagadnienia, np. okręgi styczne wewnętrznie i zewnętrznie czy średnią ważoną i odchylenie standardowe.

Co jeszcze zmieni się na egzaminie maturalnym 2022?

Poza okrojonymi wymaganiami zmiany na maturze z matematyki 2022 to też więcej pytań zamkniętych i jednoczesne zmniejszenie liczby punktów. Warto pamiętać, że w 2022 r. maturzysta wciąż musi przystąpić do co najmniej jednego przedmiotu dodatkowego na poziomie rozszerzonym, natomiast nie będzie egzaminów ustnych – tylko część pisemna egzaminu.

Czy matura poprawkowa z matematyki jest prostsza niż majowa? – Szach MAT

W 2021 roku obowiązują takie sama wymagania egzaminacyjne na terminie majowym oraz sierpniowym. Każdy z tych arkuszy zawierał/będzie zawierał 28 zadań zamkniętych oraz 7 otwartych. To pierwszy argument za tym, że te egzaminy nie różnią się między sobą poziomem trudności.

Regularnie pracuję z arkuszami maturalnymi – uważam, że poziom matury poprawkowej w stosunku do majowej – nie różni się. Poniżej zestawiam kilka zadań z matury czerwiec 2020 (termin główny) vs sierpień 2020.

I nierówności liniowe

Zadanie czerwiec 2020:

Pewniaki maturalne

Przygotowałem dla Was pewniaki maturalne, czyli 38 klasycznych typów zadań, które zazwyczaj pojawiają się na maturze z matematyki na poziomie podstawowym. Do każdego typu zadania dopasowałem dwa charakterystyczne zadania z danego zagadnienia. Można więc powiedzieć, że jest to szybki przegląd zadań maturalnych, idealny na powtórkę przed egzaminem. To co jest najważniejsze, to wszystkie zadania pochodzą z matur, są to więc realne przykłady, które już kiedyś na maturze wystąpiły.

Ale to nie wszystko. Aby pewniaki były dla Was jak najbardziej wartościowe, to do każdego zagadnienia napisałem dwie podpowiedzi. Pierwsza podpowiedź jest merytoryczna i jej zadaniem jest przypomnienie Wam jakiejś najistotniejszej lub najbardziej problematycznej rzeczy w danym temacie. Druga podpowiedź jest taką ostatnią deską ratunku, która ma na celu doprowadzić Was do poprawnej odpowiedzi albo przynajmniej wykluczenia jakiegoś wariantu (co sprawi, że mamy większe szanse na dobre strzelenie).

Jeżeli potrzebujecie dokładnego omówienia jakiegoś zagadnienia maturalnego, to polecam filmiki które znajdziecie w moim kursie: Kurs maturalny

Pewniaki maturalne

1. Działania na potęgach

Podpowiedź: W takich zadaniach zazwyczaj trzeba sprowadzić liczby do wspólnej podstawy potęgi (lub wspólnego wykładnika), bo wtedy możemy wykonywać kluczowe działania na potęgach.

Ostatnia deska ratunku: W awaryjnych sytuacjach można próbować wyliczyć poszczególne wartości na kalkulatorze i sprawdzić w ten sposób przynajmniej przybliżoną wartość danego działania. Wbrew pozorom większość zadań da się w ten sposób rozwiązać.

\(2^{-27}\) \(2^{-3}\) \(2^{3}\) \(2^{27}\) Iloraz \(32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^4\) jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Musimy wykonać działania na potęgach, pamiętając że \(32=2^5\) oraz \(\frac{1}{8}=2^{-3}\), zatem:

$$32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^4=(2^5)^{-3}:(2^{-3})^4= \\

=2^{5\cdot(-3)}:2^{-3\cdot4}=2^{-15}:2^{-12}=2^{-15-(-12)}=2^{-3}$$

Musimy wykonać działania na potęgach, pamiętając że \(32=2^5\) oraz \(\frac{1}{8}=2^{-3}\), zatem: $$32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^4=(2^5)^{-3}:(2^{-3})^4= \\ =2^{5\cdot(-3)}:2^{-3\cdot4}=2^{-15}:2^{-12}=2^{-15-(-12)}=2^{-3}$$ Odpowiedź:

B. \(2^{-3}\)

\(45^{40}\) \(45^{9}\) \(9^{4}\) \(5^{4}\) Liczba \(\frac{9^5\cdot5^{9}}{45^5}\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Liczbę \(45\) znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn \(9\cdot5\), zatem:

$$\require{cancel}

\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \\

=5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$

Liczbę \(45\) znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn \(9\cdot5\), zatem: $$\require{cancel} \frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \\ =5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$ Odpowiedź:

D. \(5^{4}\)

2. Działania na pierwiastkach

Podpowiedź: Pierwiastki możemy sprowadzać do postaci potęg np. \(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\), \(\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\), \(\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^2}=5^{\frac{2}{3}}\) i często będzie to klucz do rozwiązania jakiegoś rozbudowanego ułamka z potęgami i pierwiastkami. Drugą często wykorzystywaną umiejętnością jest wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka np. \(\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}\).

Ostatnia deska ratunku: Na kalkulatorach mamy jedynie pierwiastki drugiego stopnia. Jak więc policzyć pierwiastki nieco wyższych stopni? Jak naciśniemy na kalkulatorze dwukrotnie przycisk pierwiastka to obliczymy pierwiastek czwartego stopnia, a jak naciśniemy trzykrotnie to obliczymy pierwiastek ósmego stopnia. Tym samym (tak w dużym przybliżeniu) jak mamy gdzieś w zadaniu np. pierwiastek szóstego stopnia, to spodziewamy się, że będzie to wartość mniej więcej między pierwiastkiem czwartego i ósmego stopnia. Taki trik może czasem pozwolić obliczyć jakiś przybliżony wynik i w ten sposób trafimy w poprawną odpowiedź.

\(\sqrt[3]{52}\) \(3\) \(2\sqrt[3]{2}\) \(2\) Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Musimy rozbić liczbę \(54\) na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem:

$$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$

Musimy rozbić liczbę \(54\) na takie dwa czynniki, aby z jednego z nich dało się wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia. Zatem: $$\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{27\cdot2}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$$ Odpowiedź:

C. \(2\sqrt[3]{2}\)

\(4^4\) \(4^{-4}\) \(4^{-8}\) \(4^{-12}\) Liczba \((\sqrt[3]{16}\cdot4^{-2})^3\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Wykonując poprawnie działania na pierwiastkach i ułamkach oraz pamiętając, że \(16=4^2\), otrzymamy:

$$(\sqrt[3]{16}\cdot4^{-2})^3=(16^{\frac{1}{3}}\cdot4^{-2})^3= \\

=(16^{\frac{1}{3}})^3\cdot(4^{-2})^3=16^{\frac{1}{3}\cdot3}\cdot4^{-2\cdot3}= \\

=16^1\cdot4^{-6}=4^2\cdot4^{-6}= \\

=4^{2-6}=4^{-4}$$

Wykonując poprawnie działania na pierwiastkach i ułamkach oraz pamiętając, że \(16=4^2\), otrzymamy: $$(\sqrt[3]{16}\cdot4^{-2})^3=(16^{\frac{1}{3}}\cdot4^{-2})^3= \\ =(16^{\frac{1}{3}})^3\cdot(4^{-2})^3=16^{\frac{1}{3}\cdot3}\cdot4^{-2\cdot3}= \\ =16^1\cdot4^{-6}=4^2\cdot4^{-6}= \\ =4^{2-6}=4^{-4}$$ Odpowiedź:

B. \(4^{-4}\)

3.Usuwanie niewymierności z mianownika

Podpowiedź: Jak w mianowniku ułamka jest samotny pierwiastek typu \(\sqrt{3}\) to sprawa jest prosta – trzeba wymnożyć licznik i mianownik ułamka właśnie przez \(\sqrt{3}\). Możemy też rozbić liczbę znajdującą się w liczniku na taką, by skróciła nam się z tym pierwiastkiem. Nieco trudniej jest kiedy w mianowniku ułamka mamy wyrażenie typu \(\sqrt{3}-1\), wtedy trzeba wymnożyć licznik i mianownik takiego ułamka przez \(\sqrt{3}+1\), korzystając przy okazji ze wzorów skróconego mnożenia.

Ostatnia deska ratunku: Jeżeli jest to zadanie zamknięte to bardzo często jesteśmy w stanie obliczyć interesującą nas wartość na kalkulatorze, przyrównując otrzymane zaokrąglenie do proponowanych odpowiedzi.

\(5^5\sqrt{5}\) \(5^4\sqrt{5}\) \(5^3\sqrt{5}\) \(5^6\sqrt{5}\) Liczba \(\frac{5^3\cdot25}{\sqrt{5}}\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej będzie chyba rozbić liczbę \(25\) na \(5\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\), bo wtedy skróci nam się od razu pierwiastek z mianownika. Można też potraktować \(25\) jako \(5^2\), a następnie standardowo usunąć niewymierność z mianownika. Obydwie metody prowadzą skutecznie do tego samego wyniku:

$$\require{cancel}

\frac{5^3\cdot25}{\sqrt{5}}=\frac{5^3\cdot5\cdot\sqrt{5}\cdot\cancel{\sqrt{5}}}{\cancel{\sqrt{5}}}=5^4\sqrt{5}$$

To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej będzie chyba rozbić liczbę \(25\) na \(5\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\), bo wtedy skróci nam się od razu pierwiastek z mianownika. Można też potraktować \(25\) jako \(5^2\), a następnie standardowo usunąć niewymierność z mianownika. Obydwie metody prowadzą skutecznie do tego samego wyniku: $$\require{cancel} \frac{5^3\cdot25}{\sqrt{5}}=\frac{5^3\cdot5\cdot\sqrt{5}\cdot\cancel{\sqrt{5}}}{\cancel{\sqrt{5}}}=5^4\sqrt{5}$$ Odpowiedź:

B. \(5^4\sqrt{5}\)

\(1\) \(-1\) \(7+4\sqrt{5}\) \(9+4\sqrt{5}\) Ułamek \(\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\) jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Nie możemy ot tak skrócić sobie licznika z mianownikiem, bo między liczbami stoją znaki dodawania/odejmowania. Musimy tak naprawdę wymnożyć licznik i mianownik przez wartość \(\sqrt{5}+2\), pobywając się w ten sposób niewymierności w mianowniku. Zatem:

$$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}+2)\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}= \\

=\frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}=9+4\sqrt{5}$$

Nie możemy ot tak skrócić sobie licznika z mianownikiem, bo między liczbami stoją znaki dodawania/odejmowania. Musimy tak naprawdę wymnożyć licznik i mianownik przez wartość \(\sqrt{5}+2\), pobywając się w ten sposób niewymierności w mianowniku. Zatem: $$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}+2)\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}= \\ =\frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}=9+4\sqrt{5}$$ Odpowiedź:

D. \(9+4\sqrt{5}\)

4. Działania na logarytmach

Podpowiedź: Pamiętaj o tym, że logarytmy można zamieniać na postać potęg: \(log_{a}c=b\), wtedy gdy \(a^b=c\) (tę zależność znajdziesz w tablicach maturalnych).

Ostatnia deska ratunku: Gdy w podstawie logarytmu jest liczba naturalna, a liczbą logarytmowaną jest ułamek, to wynik logarytmu związany jest z liczbą ujemną.

\(-3\) \(-\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{3}\) \(3\) Liczba \(\log_{3}\frac{1}{27}\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie – do jakiej liczby trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(\frac{1}{27}\). Jeśli dobrze orientujemy się w działaniach na potęgach to dobrze wiemy, że skoro wynik jest w formie ułamka to na pewno będzie to liczba ujemna, a dokładnie tą liczbą będzie \(-3\), bo:

$$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$$

Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie – do jakiej liczby trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(\frac{1}{27}\). Jeśli dobrze orientujemy się w działaniach na potęgach to dobrze wiemy, że skoro wynik jest w formie ułamka to na pewno będzie to liczba ujemna, a dokładnie tą liczbą będzie \(-3\), bo: $$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$$ Odpowiedź:

A. \(-3\)

\(1\) \(2\) \(\log_{4}6\) \(\log_{4}10\) Liczba \(\log_{4}8+\log_{4}2\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie \(\log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}(x\cdot y)\), stąd też:

$$\log_{4}8+\log_{4}2=\log_{4}(8\cdot2)=\log_{4}16=2$$

Skorzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie \(\log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}(x\cdot y)\), stąd też: $$\log_{4}8+\log_{4}2=\log_{4}(8\cdot2)=\log_{4}16=2$$ Odpowiedź:

B. \(2\)

5. Obliczenia procentowe

Podpowiedź: Pamiętaj, że liczba większa o np. \(20\%\) od liczby \(x\) to \(1,2x\), a liczba o \(20\%\) mniejsza od \(x\) to \(0,8x\).

Ostatnia deska ratunku: Często możemy sprawdzać po kolei liczby z odpowiedzi ABCD i w ten sposób zweryfikujemy która liczba była tą poszukiwaną liczbą którą poddaliśmy jakimś działaniom na procentach.

\(0,15\cdot x=230\) \(0,85\cdot x=230\) \(x+0,15\cdot x=230\) \(x-0,15\cdot x=230\) Suma liczby \(x\) i \(15\%\) tej liczby jest równa \(230\). Równaniem opisującym tę zależność jest: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

\(15\%\) możemy zapisać w formie ułamka dziesiętnego jako \(0,15\). W związku z tym \(15\%\) z \(x\) jest równe \(0,15\cdot x\). Wiemy, że suma \(x\) oraz \(0,15\cdot x\) jest równa \(230\), zatem poszukiwanym równaniem jest:

$$x+0,15\cdot x=230$$

\(15\%\) możemy zapisać w formie ułamka dziesiętnego jako \(0,15\). W związku z tym \(15\%\) z \(x\) jest równe \(0,15\cdot x\). Wiemy, że suma \(x\) oraz \(0,15\cdot x\) jest równa \(230\), zatem poszukiwanym równaniem jest: $$x+0,15\cdot x=230$$ Odpowiedź:

C. \(x+0,15\cdot x=230\)

\(25\) \(40\) \(45\) \(55\) Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. \(10\%\) tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii? Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

\(x\) – tyle oszczędności miała Julia

\(0,5x\) – tyle oszczędności przeznaczyła Julia na prezent dla Maćka

\(x-0,5x=0,5x\) – tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupie prezentu

\(0,1\cdot0,5x=0,05x\) – tyle pieniędzy przeznaczyła Julia na prezent dla Dominiki

\(0,5x-0,05x=0,45x\) – tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupach dwóch prezentów Julce zostało \(0,45x\) oszczędności, więc zostało jej \(45\%\).

\(x\) – tyle oszczędności miała Julia \(0,5x\) – tyle oszczędności przeznaczyła Julia na prezent dla Maćka \(x-0,5x=0,5x\) – tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupie prezentu \(0,1\cdot0,5x=0,05x\) – tyle pieniędzy przeznaczyła Julia na prezent dla Dominiki \(0,5x-0,05x=0,45x\) – tyle pieniędzy pozostało Julii po zakupach dwóch prezentów Odpowiedź:

C. \(45\)

6. Obniżki/podwyżki

Podpowiedź: Druga obniżka/podwyżka następuje z ceny już obniżonej/podwyższonej, a nie z ceny początkowej.

Ostatnia deska ratunku: Możemy sobie założyć że nasz produkt na starcie kosztuje nie \(x\), tylko \(100zł\). To znacznie upraszcza późniejsze dostrzeżenie tego jaka jest wysokość obniżki/podwyżki lub rabatu.

\(80\) \(20\) \(22\) \(44\) Buty, które kosztowały \(220\) złotych, przeceniono i sprzedano za \(176\) złotych. O ile procent obniżono cenę butów? Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie wysokości obniżki. $$220zł-176zł=44zł$$ Krok 2. Obliczenie o ile procent obniżono cenę butów. Cenę obniżono o \(44zł\) z \(220zł\), czyli:

$$\frac{44}{220}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$

Odpowiedź:

B. \(20\)

\(24400zł\) \(24700zł\) \(24000zł\) \(24300zł\) Samochód kosztował \(30000zł\). Jego cenę obniżono o \(10\%\), a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o \(10\%\). Po tych obniżkach samochód kosztował: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Tego typu zadania możemy rozwiązać na dwa sposoby. Sposób I – rozwiązanie na konkretnych liczbach: Krok 1. Obliczenie wysokości pierwszej obniżki. Pierwsza obniżka jest o \(10\%\) z \(30000zł\), zatem wynosi ona:

$$0,1\cdot30000zł=3000zł$$ Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce. $$30000zł-3000zł=27000zł$$ Krok 3. Obliczenie wysokości drugiej obniżki. Nasza druga obniżka jest także o \(10\%\), ale tym razem już z \(27000zł\), zatem wynosi ona:

$$0,1\cdot27000zł=2700zł$$ Krok 4. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce. $$27000zł-2700zł=24300zł$$ Sposób II – rozwiązanie na wyrażeniach algebraicznych (metoda bardziej uniwersalna): Krok 1. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce. Oznaczmy cenę samochodu jako \(x\) i obliczmy wartość samochodu po pierwszej obniżce. Skoro obniżka jest o \(10\%\), to nowa cena stanowi teraz \(90\%\) ceny podstawowej. Cena samochodu po pierwszej obniżce jest więc równa \(0,9x\). Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce. Ceną wyjściową jest dla nas teraz \(0,9x\) i to od tej ceny ponownie odejmujemy \(10\%\), czyli cena samochodu po drugiej obniżce będzie równa:

$$0,9\cdot0,9x=0,81x$$ Cena samochodu po dwóch obniżkach stanowi więc \(0,81\) ceny podstawowej (czyli \(81\%\)). Chcąc poznać nową cenę wystarczy teraz pomnożyć \(0,81\) przez początkową cenę samochodu.

$$0,81\cdot30000zł=24300zł$$

Tego typu zadania możemy rozwiązać na dwa sposoby. Odpowiedź:

D. \(24300zł\)

7. Błąd bezwzględny/względny

Uwaga! Tego zagadnienia nie będzie na maturze 2022 🙂

Podpowiedź: Wzorów na błąd bezwzględny i względny nie znajdziemy w tablicach, to jedna z tych rzeczy którą musimy nauczyć się na pamięć. Te wzory znajdziesz tutaj: Błąd bezwzględny i względny

Ostatnia deska ratunku: Tak na chłopski rozum, to błąd bezwzględny mówi konkretnie o ile się pomyliliśmy. Przykładowo jak masz 178cm wzrostu, a ktoś szacuje że masz 180cm, to błąd bezwzględny jest równy 2cm. Jeżeli więc na maturze będzie jakieś zadanie z niewiadomą \(x\), to może uda Ci się wprowadzić sensowny kontekst do tego zadania tak jak np. ze wzrostem i dzięki temu łatwiej będzie obliczać różne rzeczy.

\(0,025\%\) \(2,5\%\) \(0,04\%\) \(4\%\) Liczba \(0,6\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{5}{8}\). Błąd względny tego przybliżenia wyrażony w procentach jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Aby obliczyć błąd względny musimy posłużyć się następującym wzorem:

$$δ=\frac{|x-x_{o}|}{x}$$ W naszym przykładzie:

$$x=\frac{5}{8}=0,625 \\

x_{o}=0,6 \\

\text{więc} \\

δ=\frac{|0,625-0,6|}{0,625} \\

δ=\frac{0,025}{0,625} \\

δ=0,04=4\%$$

Aby obliczyć błąd względny musimy posłużyć się następującym wzorem: $$δ=\frac{|x-x_{o}|}{x}$$ Odpowiedź:

D. \(4\%\)

\(14,76\) \(14,80\) \(15,20\) \(15,24\) Liczba \(15\) jest przybliżeniem z niedomiarem liczby \(x\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy \(0,24\). Liczba \(x\) to: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Liczba \(15\) jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli na pewno poszukiwana przez nas liczba \(x\) jest większa od \(15\). Skoro więc błąd bezwzględny wyniósł \(0,24\), to nasza liczba \(x\) jest równa:

$$x=15+0,24=15,24$$

Liczba \(15\) jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli na pewno poszukiwana przez nas liczba \(x\) jest większa od \(15\). Skoro więc błąd bezwzględny wyniósł \(0,24\), to nasza liczba \(x\) jest równa: $$x=15+0,24=15,24$$ Odpowiedź:

D. \(15,24\)

8. Ile rozwiązań ma równanie/nierówność lub jaka jest największa/najmniejsza liczba spełniająca równanie/nierówność.

Podpowiedź: Zwróć uwagę na to, czy jakiegoś otrzymanego rozwiązania nie trzeba wykluczyć (np. ze względu na założenia).

Ostatnia deska ratunku: Jak pytają się nas jaka jest największa/najmniejsza liczba spełniająca równanie lub nierówność, to możemy podstawiać każdą z odpowiedzi do naszego działania i w ten sposób sprawdzimy kiedy równanie lub nierówność jest prawidłowe.

\(1\) \(2\) \(-1\) \(-2\) Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności \(\frac{3}{8}+\frac{x}{6}\lt\frac{5x}{12}\) jest: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Pozbycie się ułamków i rozwiązanie nierówności. Przy równościach i nierównościach w których dominują ułamki dobrze jest na samym początku pomnożyć obie strony przez taką liczbę, aby pozbyć się wszystkich ułamków. W naszym przypadku taką liczbą będzie \(24\), bo jest to najmniejsza wspólna wielokrotność \(6,8,12\). Jak już to zrobimy, to bez przeszkód obliczymy naszą nierówność: $$\frac{3}{8}+\frac{x}{6}\lt\frac{5x}{12} \quad\bigg/\cdot24 \\

9+4x\lt10x \\

9\lt6x \\

x\gt\frac{9}{6} \\

x\gt\frac{3}{2}$$ Krok 2. Wybór prawidłowej odpowiedzi. Rozwiązaniem naszej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych większych od \(\frac{3}{2}\). To oznacza, że najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest \(2\).

Odpowiedź:

B. \(2\)

nie ma rozwiązań rzeczywistych ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste Równanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x

eq-5\): Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Aby sprawdzić ile rozwiązań ma dane równanie spróbujmy je rozwiązać tradycyjnymi metodami:

$$\frac{3x-1}{x+5}=3 \quad\bigg/\cdot(x+5) \\

3x-1=3\cdot(x+5) \\

3x-1=3x+15 \\

-1=15$$ Otrzymaliśmy sprzeczność, a to oznacza, że to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Aby sprawdzić ile rozwiązań ma dane równanie spróbujmy je rozwiązać tradycyjnymi metodami: $$\frac{3x-1}{x+5}=3 \quad\bigg/\cdot(x+5) \\ 3x-1=3\cdot(x+5) \\ 3x-1=3x+15 \\ -1=15$$ Odpowiedź:

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych

9. Układ równań

Podpowiedź: Czasem w układzie równań znajdziemy wzory dwóch prostych. W takich przypadkach rozwiązaniem układu równań jest miejsce przecięcia się tych prostych (jest to tak zwana geometryczna interpretacja układu równań).

Ostatnia deska ratunku: Możemy podstawiać poszczególne odpowiedzi do układu równań, sprawdzając która odpowiedź jest prawidłowa. Jak ma to być standardowy układ równań gdzie rozwiązaniem jest para liczb, to po podstawieniu iksa i igreka lewa i prawa strona każdego z równań musi być sobie równa. Jak układ ma być tożsamościowy (czyli ma mieć nieskończenie wiele rozwiązań) to po podstawieniu powinno nam wyjść coś w stylu \(1=1\), \(3=3\) itd. Jak układ ma być sprzeczny (czyli ma mieć zero rozwiązań), to musi wychodzić nam sprzeczność typu \(1=3\).

Wskaż ten układ. \(\begin{cases}

y=x+1 \\

y=-2x+4

\end{cases}\) \(\begin{cases}

y=x-1 \\

y=2x+4

\end{cases}\) \(\begin{cases}

y=x-1 \\

y=-2x+4

\end{cases}\) \(\begin{cases}

y=x+1 \\

y=2x+4

\end{cases}\) Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.Wskaż ten układ. Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Wszystkie proste przedstawione są w postaci \(y=ax+b\), a naszym zadaniem jest tak naprawdę odczytanie z rysunku potrzebnych informacji i ustalenie poszczególnych współczynników \(a\) oraz \(b\). Krok 1. Ustalenie wzoru pierwszej prostej (rosnącej). Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to pierwsza prosta jest przedstawiona w dwóch wariantach: \(y=x+1\) lub \(y=x-1\). Musimy więc tak naprawdę ustalić współczynnik \(b\) tej prostej i dowiedzieć się, czy jest on równy \(1\), czy \(-1\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu z osią \(Oy\) przetnie się wykres prostej. W naszym przypadku przeciął się on w punkcie \((0;1)\), a więc \(b=1\). To oznacza, że pierwsza prosta ma na pewno postać \(y=x+1\). Krok 2. Ustalenie wzoru drugiej prostej (malejącej). Druga prosta jest opisana w odpowiedziach na dwa sposoby: \(y=2x+4\) lub \(y=-2x+4\). To znaczy, że musimy tym razem zweryfikować wartość współczynnika \(a\) i stwierdzić, czy jest on równy \(2\), czy może \(-2\). Skoro prosta jest malejąca, to bez żadnych zbędnych obliczeń jesteśmy w stanie stwierdzić, że prosta jest malejąca, czyli \(a=-2\).

Przy okazji widzimy też, że współczynnik \(b=4\), bo prosta ta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;4)\), więc z całą pewnością wzorem tej prostej jest \(y=-2x+4\). To oznacza, że poszukiwanym przez nas układem jest ten z pierwszej odpowiedzi.

Wszystkie proste przedstawione są w postaci \(y=ax+b\), a naszym zadaniem jest tak naprawdę odczytanie z rysunku potrzebnych informacji i ustalenie poszczególnych współczynników \(a\) oraz \(b\). Odpowiedź:

A. \(\begin{cases}

y=x+1 \\

y=-2x+4

\end{cases}\)

4x+2y=10 \\

6x+ay=15

\end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli: \(a=-1\) \(a=0\) \(a=2\) \(a=3\) Układ równań \(\begin{cases}4x+2y=10 \\6x+ay=15\end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań to pierwsze i drugie równanie musimy doprowadzić do identycznej postaci, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy parametr \(a\):

\begin{cases}

4x+2y=10 \quad\bigg/\cdot1,5 \\

6x+ay=15

\end{cases}\begin{cases}

6x+\color{blue}{3y}=15 \\

6x+\color{blue}{ay}=15

\end{cases} Skoro w pierwszym równaniu pojawiła nam się wartość \(3y\), to parametr \(a\) w drugim równaniu także musi być równy \(3\).

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań to pierwsze i drugie równanie musimy doprowadzić do identycznej postaci, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy parametr \(a\): \begin{cases} 4x+2y=10 \quad\bigg/\cdot1,5 \\ 6x+ay=15 \end{cases}\begin{cases} 6x+\color{blue}{3y}=15 \\ 6x+\color{blue}{ay}=15 \end{cases} Odpowiedź:

D. \(a=3\)

10. Rozwiązywanie równań kwadratowych

Podpowiedź: Jeżeli chcemy rozwiązać równanie kwadratowe za pomocą delty, to musimy mieć postać ogólną. W związku z tym jeśli mamy równanie typu \(2x^2-3x=5\), to najpierw musimy je przekształcić do postaci \(2x^2-3x-5=0\). Oczywiście nie trzeba zawsze na siłę doprowadzać równania do postaci ogólnej – jak mamy postać iloczynową, to wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera. I jeszcze jedna ważna uwaga – często rozwiązania równań nazywa się „pierwiastkami równania”.

Ostatnia deska ratunku: Jak rozwiążesz równanie, to sprawdź zawsze czy otrzymane rozwiązanie w ogóle spełnia to równanie (czyli podstaw wyznaczonego iksa i zobacz, czy lewa i prawa strona równania będą sobie równe).

\(16\) \(32\) \(40\) \(48\) Liczby \(x_{1}\), \(x_{2}\) są rozwiązaniami równania \(4(x+2)(x-6)=0\). Suma \({x_{1}}^2+{x_{2}}^2\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie rozwiązań równania kwadratowego. W treści zadania mamy tak naprawdę podane równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. To oznacza, że wystarczy przyrównać wartości z poszczególnych nawiasów do zera i dzięki temu poznamy rozwiązania tego równania, tak więc:

$$x+2=0 \quad\lor\quad x-6=0 \\

x=-2 \quad\lor\quad x=6$$ Równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x_{1}=-2\) oraz \(x_{2}=6\). Krok 2. Obliczenie wartości \({x_{1}}^2+{x_{2}}^2\). $${x_{1}}^2+{x_{2}}^2=(-2)^2+6^2=4+36=40$$

Odpowiedź:

C. \(40\)

nie ma rozwiązań rzeczywistych ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste Równanie \(2x^2+11x+3=0\): Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie delty. Współczynniki: \(a=2,\;b=11,\;c=3\)

$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot2\cdot3=121-24=97$$ Delta wyszła nam dodatnia, więc równanie ma na pewno dwa rozwiązania. Musimy jeszcze tylko ustalić czy są to rozwiązania dodatnie, czy też ujemne. Krok 2. Określenie, czy rozwiązania są dodatnie czy ujemne. Najprościej będzie określić znak obliczając po prostu wartości \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\):

$$\sqrt{Δ}=\sqrt{97}\approx9,8$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-9,8}{2\cdot2}=\frac{-20,8}{4}=-5,2 \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+9,8}{2\cdot2}=\frac{-1,2}{4}=-0,3$$

Odpowiedź:

D. ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

11. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych

Podpowiedź: Podczas rozwiązywania nierówności kwadratowych musimy na początku rozwiązać równanie kwadratowe i robimy to po to, by wyznaczyć miejsca zerowe. W związku z tym jak w trakcie rozwiązywania otrzymamy ujemną deltę, to nie oznacza to że nierówność nie ma rozwiązań. Oznacza to tylko tyle, że parabola nie ma miejsc zerowych (czyli w całości jest nad osią lub pod osią iksów).

Ostatnia deska ratunku: I tu podobnie jak w równaniach kwadratowych, tak i tutaj możemy sprawdzać czy otrzymane rozwiązanie ma sens. Najlepiej jest tutaj podstawić sobie jakieś krańcowe liczby z otrzymanego przedziału rozwiązań.

Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej. To bardzo ważny krok. Jeśli chcemy rozwiązać to zadanie np. metodą delty, to musimy doprowadzić nierówność do postaci typu \(ax^2+bx+c\), tak aby po prawej stronie znalazło się zero. Stąd też pierwszą czynnością jaką musimy zrobić to wymnożyć przez siebie odpowiednie nawiasy i uporządkować zapis:

$$2x^2-4x\gt(x+3)(x-2) \\

2x^2-4x\gt x^2-2x+3x-6 \\

x^2-5x+6\gt0$$ Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)

$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)). Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a więc interesującym nas przedziałem będzie:

$$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$

Odpowiedź:

\(x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)\) Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt(x+3)(x-2)\).

Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Nasza nierówność przedstawiona jest w postaci iloczynowej, tak więc bardzo szybko jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe – wystarczy przyrównać poszczególne wartości w nawiasach do zera.

$$(2x-3)(3-x)=0 \\

2x-3=0 \quad\lor\quad 3-x=0 \\

2x=3 \quad\lor\quad x=3 \\

x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=3$$ Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli. Musimy teraz określić kształt naszej paraboli. Gdybyśmy pomnożyli przez siebie wszystkie czynniki to otrzymalibyśmy między innymi \(-2x^2\), tak więc współczynnik kierunkowy \(a\) wyjdzie nam ujemny. To z kolei oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Zaznaczmy więc na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i na podstawie wykresu określmy przedział rozwiązań podanej nierówności. Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a więc interesującym nas przedziałem będzie: \(x\in\langle1\frac{1}{2};3\rangle\).

Odpowiedź:

\(x\in\langle1\frac{1}{2};3\rangle\) Rozwiąż nierówność \((2x-3)(3-x)\ge0\).

12. Odczytywanie informacji z wykresu funkcji (głównie funkcji liniowej lub kwadratowej)

Podpowiedź: Tutaj możemy otrzymać jakiś skomplikowany wykres z którego trzeba będzie odczytać np. zbiór argumentów (odczytujemy to z osi iksów) lub zbiór wartości (odczytujemy z osi igreków). Ale oprócz tego, to często zadania z odczytywaniem informacji z wykresu oparte są na tym, by odczytać jakąś kluczową informację z wykresu funkcji liniowej lub kwadratowej. Dla funkcji liniowych kluczowe zazwyczaj będzie odczytanie miejsca zerowego i tego czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca. Dla funkcji kwadratowych ważne są miejsca zerowe, wierzchołek paraboli, czy też kierunek ułożenia ramion.

Ostatnia deska ratunku: Próbuj odrzucać jakieś odpowiedzi ze względu na informacje, które potrafisz odczytać z wykresu. Jak przykładowo szukamy wzoru funkcji liniowej, a widzisz że funkcja jest rosnąca, to możesz odrzucić te funkcje, które mają ujemny współczynnik kierunkowy.

Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(b\)? \(a\lt0\) i \(b\lt0\) \(a\lt0\) i \(b\gt0\) \(a\gt0\) i \(b\lt0\) \(a\gt0\) i \(b\gt0\) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej \(y=ax+b\).Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(b\)? Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\). Z wykresu możemy odczytać, że funkcja jest malejąca, a to oznacza, że \(a\lt0\). Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji \(y=ax+b\) przecina się z osią \(Oy\). Przykładowo gdy \(b=-2\), to wykres przecina oś w miejscu \(A=(0,-2)\). Widzimy wyraźnie, że nasza funkcja przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\), a więc, a więc \(b\lt0\).

Odpowiedź:

A. \(a\lt0\) i \(b\lt0\)

\(\langle0,3\rangle\) \((0,8\rangle\) \(\langle-3,3\rangle\) \((-3,8\rangle\) Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(x\). Widzimy wyraźnie, że dziedziną funkcji będzie przedział \(x\in(-3;8\rangle\).

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(x\). Widzimy wyraźnie, że dziedziną funkcji będzie przedział \(x\in(-3;8\rangle\). Odpowiedź:

D. \((-3,8\rangle\)

13. Punkt należący do funkcji oraz obliczanie wartości funkcji

Podpowiedź: Punkt należy do funkcji wtedy, gdy podstawiając jego współrzędne do wzoru funkcji, lewa i prawa strona równania będą sobie równe.

Ostatnia deska ratunku: No i właśnie, czasem podstawiając współrzędne danego punktu do wzoru funkcji możemy wykluczyć jakąś odpowiedź lub też możemy sprawdzić, czy w zadaniu otwartym wyszedł nam dobry wynik. Jak np. szukamy funkcji przechodzącej przez jakiś punkt, to warto podstawić współrzędne tego punktu do otrzymanego wzoru i sprawdzić, czy obie strony równania będą sobie równe.

\((-1,-4)\) \((-1,1)\) \((-1,-1)\) \((-1,-2)\) Do wykresu funkcji \(f(x)=x^2+x-2\) należy punkt: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Zadanie możemy rozwiązać podstawiając współrzędne każdego z punktów do wzoru funkcji. Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce \(x\), a drugą w miejsce \(f(x)\). Punktem należącym do wykresu będzie ten, który spełni powstałą równość (czyli tak naprawdę wtedy kiedy nie wyjdzie nam równanie sprzeczne). Można jednak to zadanie zrobić nieco sprytniej, dostrzegając że we wszystkich odpowiedziach pierwszą współrzędną punktu jest \(x=-1\). To oznacza, że nie musimy podstawiać każdego z punktów pod wzór funkcji. Wystarczy tak naprawdę obliczyć wartość \(f(-1)\), zatem:

$$f(-1)=(-1)^2+(-1)-2 \\

f(-1)=1-1-2 \\

f(-1)=-2$$ To oznacza, że druga współrzędna to \(y=-2\), czyli prawidłowa jest ostatnia odpowiedź \((-1;-2)\).

Zadanie możemy rozwiązać podstawiając współrzędne każdego z punktów do wzoru funkcji. Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce \(x\), a drugą w miejsce \(f(x)\). Punktem należącym do wykresu będzie ten, który spełni powstałą równość (czyli tak naprawdę wtedy kiedy nie wyjdzie nam równanie sprzeczne). Odpowiedź:

D. \((-1,-2)\)

\(2-4\sqrt{2}\) \(1-2\sqrt{2}\) \(1+2\sqrt{2}\) \(2+4\sqrt{2}\) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x

eq0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem:

$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$ Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika:

$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}} \\

f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\

f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2} \\

f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$

Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem: $$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$ Odpowiedź:

A. \(2-4\sqrt{2}\)

14. Miejsce zerowe funkcji

Podpowiedź: Miejsce zerowe \(x=2\) oznacza, że funkcja na pewno przechodzi przez punkt \(P=(2;0)\).

Ostatnia deska ratunku: Gdy szukamy miejsca zerowego funkcji, to nie podstawiamy pod iksa wartości równej zero, tylko przyrównujemy wzór funkcji do zera. Przykładowo aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji \(y=2x+3\) to sprawdzamy kiedy \(2x+3=0\). Poza tym miejsca zerowe odczytujemy z osi iksów, a nie z igreków. Często właśnie to jest główna pułapka w zadaniu. Możesz więc śmiało odrzucać odpowiedzi, gdzie miejsca zerowe odczytywane są z osi igreków.

\(-2\sqrt{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(2\sqrt{2}\) Funkcja liniowa określona jest wzorem \(f(x)=-\sqrt{2}x+4\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego cała funkcja przyjmuje wartość równą zero. To oznacza, że miejsce zerowe wyliczymy w następujący sposób:

$$-\sqrt{2}x+4=0 \\

-\sqrt{2}x=-4 \\

\sqrt{2}x=4 \quad\bigg/:\sqrt{2} \\

x=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego cała funkcja przyjmuje wartość równą zero. To oznacza, że miejsce zerowe wyliczymy w następujący sposób: $$-\sqrt{2}x+4=0 \\ -\sqrt{2}x=-4 \\ \sqrt{2}x=4 \quad\bigg/:\sqrt{2} \\ x=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$ Odpowiedź:

D. \(2\sqrt{2}\)

\(x=7,\;x=-2\) \(x=-7,\;x=-2\) \(x=7,\;x=2\) \(x=-7,\;x=2\) Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(y=-3(x-7)(x+2)\) są: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Mamy podaną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej. Aby obliczyć jej miejsca zerowe wystarczy przyrównać wzór tej funkcji do zera. Pamiętaj, że iloczyn będzie równy zero tylko i wyłącznie wtedy, gdy jeden z czynników (czyli jeden z nawiasów) będzie równy zero. Stąd też:

$$-3(x-7)(x+2)=0 \\

x-7=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\

x=7 \quad\lor\quad x=-2$$

Mamy podaną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej. Aby obliczyć jej miejsca zerowe wystarczy przyrównać wzór tej funkcji do zera. Pamiętaj, że iloczyn będzie równy zero tylko i wyłącznie wtedy, gdy jeden z czynników (czyli jeden z nawiasów) będzie równy zero. Stąd też: $$-3(x-7)(x+2)=0 \\ x-7=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\ x=7 \quad\lor\quad x=-2$$ Odpowiedź:

A. \(x=7,\;x=-2\)

15. Współczynniki i wzory funkcji liniowej/kwadratowej

Podpowiedź: W funkcji liniowej \(y=ax+b\) i kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) kluczowy jest współczynnik kierunkowy \(a\). Gdy funkcja liniowa rośnie, to \(a\gt0\), gdy maleje to \(a\lt0\), a gdy jest stała to \(a=0\). W przypadku funkcji kwadratowej gdy ramiona paraboli są skierowane do góry to \(a\gt0\), a gdy do dołu to \(a\lt0\). W funkcji kwadratowej często też kluczowe będzie wyznaczenie wierzchołka paraboli (pamiętaj, że \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\)).

Ostatnia deska ratunku: Jak rozwiązujemy jakieś zadanie gdzie trzeba wyznaczyć wzór funkcji, to sprawdźmy sobie na koniec czy nasz otrzymany wynik ma sens – np. jak funkcja jest rosnąca to sprawdźmy czy wyszedł nam dodatni współczynnik kierunkowy. Warto też podstawić współrzędne znanego nam punktu do tego wzoru – sprawdzimy w ten sposób, czy lewa i prawa strona są sobie równe.

Jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,6)\) Jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,6)\) Jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\) Jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\) Funkcja liniowa \(f(x)=\frac{1}{2}x-6\): Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Ustalenie, czy funkcja \(f(x)\) jest rosnąca czy malejąca. O tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca decyduje współczynnik \(a\) stojący przed \(x\). W naszym przypadku współczynnik ten jest dodatni i wynosi \(\frac{1}{2}\), a więc już wiemy, że funkcja jest rosnąca. Krok 2. Ustalenie przez jaki punkt przechodzi wykres funkcji. W tym przypadku pomocny będzie współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-6\). Mówi on o tym, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-6)\). To oznacza, że prawidłowa jest ostatnia odpowiedź.

Odpowiedź:

D. Jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\)

\((0,2)\) \((0,-2)\) \((-2,0)\) \((2,0)\) Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem \(f(x)=x^2-4x+4\) jest punkt o współrzędnych: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka (\(p\)). Do obliczeń współrzędnych wierzchołka \(W=(p;q)\) przydadzą nam się współczynniki funkcji kwadratowej:

$$a=1,\;b=-4,\;c=4$$ Zgodnie ze wzorami z tablic matematycznych:

$$p=\frac{-b}{2a} \\

p=\frac{-(-4)}{2\cdot1} \\

p=\frac{4}{2} \\

p=2$$ Tak naprawdę moglibyśmy już na tym skończyć obliczenia, bo już wiemy, że współrzędne naszego wierzchołka to \(W=(2;q)\), a taka sytuacja jest jedynie w czwartej odpowiedzi. W ramach ćwiczenia możemy obliczyć jeszcze drugą współrzędną. Krok 2. Obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka. $$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$ $$q=\frac{-Δ}{4a} \\

q=\frac{-0}{4\cdot1}\\

q=\frac{-0}{4}\\

q=0$$ Współrzędne wierzchołka to w takim razie \(W=(2;0)\).

Odpowiedź:

D. \((2,0)\)

16. Najmniejsza/największa wartość funkcji (także w konkretnym przedziale)

Uwaga! Tego zagadnienia nie będzie na maturze 2022 🙂

Podpowiedź: Ogólnie funkcja kwadratowa przyjmuje największą lub najmniejszą wartość w swoim wierzchołku. I to dość ważne, bo czasem powiedzą nam w treści zadania, że funkcja ma jakąś tam największą lub najmniejszą wartość i my powinniśmy wyciągnąć z tego wniosek, że to będzie po prostu wierzchołek. Może też być tak, że trzeba będzie wyliczyć najmniejszą lub największą wartość w danym przedziale – wtedy ta najmniejsza/największa wartość przyjmowana jest albo na krańcach przedziału albo w wierzchołku (o ile wierzchołek znajduje się w tym przedziale).

Ostatnia deska ratunku: Można spróbować narysować wskazaną funkcję i przedział, próbując odczytać z takiego wykresu gdzie ta wartość najmniejsza lub największa się znajduje.

Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Funkcja będzie przyjmować największą i najmniejszą wartość w danym przedziale albo na krańcach tego przedziału albo w punkcie, który jest wierzchołkiem funkcji. Wartości krańcowe przedziałów są nam znane, więc potrzebujemy jeszcze wyznaczyć położenie wierzchołka (wystarczy nam jego współrzędna \(x\)). Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli. Współrzędną wierzchołka paraboli \(x_{W}\) dla funkcji określonej wzorem w postaci \(ax^2+bx+c\) obliczymy w następujący sposób:

$$x_{W}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$ Sprawdzamy teraz, czy wierzchołek w ogóle znajduje się w naszym przedziale, który mamy przeanalizować. Tak się składa, że \(x=3\) mieści się w przedziale \(\langle0;4\rangle\), więc jak najbardziej uwzględnimy go w naszych obliczeniach. Krok 2. Obliczenie wartości \(f(0)\), \(f(4)\) oraz \(f(3)\). Zgodnie z tym co napisaliśmy sobie na początku, największych i najmniejszych wartości zawsze spodziewamy się na krańcach przedziału albo w punkcie który jest wierzchołkiem. Sprawdźmy więc jakie wartości przyjmuje ta funkcja dla tych trzech argumentów, a następnie wybierzemy z nich najmniejszą i największą wartość.

$$f(0)=0^2-6\cdot0+3=0-0+3=3 \\

f(4)=4^2-6\cdot4+3=16-24+3=-5 \\

f(3)=3^2-6\cdot3+3=9-18+3=-6$$ Najmniejszą wartością tej funkcji w przedziale \(\langle0;4\rangle\) jest więc \(-6\) (dla \(x=3\)), a największą jest \(3\) (dla \(x=0\)).

Funkcja będzie przyjmować największą i najmniejszą wartość w danym przedziale albo na krańcach tego przedziału albo w punkcie, który jest wierzchołkiem funkcji. Wartości krańcowe przedziałów są nam znane, więc potrzebujemy jeszcze wyznaczyć położenie wierzchołka (wystarczy nam jego współrzędna \(x\)). Odpowiedź:

Najmniejszą wartością jest \(-6\). Największą wartością jest \(3\). Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle0;4\rangle\).

Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli. Bardzo ważną informacją jest to, że dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość \(y=4\), która jest jednocześnie najwyższą wartością tej funkcji. Krótko mówiąc – jest to po prostu wierzchołek paraboli. Tak więc \(W=(-3;4)\). Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej. Znając współrzędne wierzchołka możemy zapisać wzór funkcji kwadratowej w następującej postaci:

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$ gdzie \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli. Tak więc nasza funkcja przyjmuje wzór:

$$f(x)=a(x-(-3))^2+4 \\

f(x)=a(x+3)^2+4$$ Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i ostatecznego wzoru funkcji. Znamy już prawie pełny wzór naszej funkcji, brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\). Tak na marginesie, to jeśli dobrze sobie wyobrazimy tę sytuację, to już powinniśmy wiedzieć, że na pewno będzie on ujemny. Skąd to wiadomo? Skoro funkcja przyjmuje najwyższe wartości w swoim wierzchołku to jej ramiona muszą być skierowane do dołu, a więc \(a\lt0\). Gdyby ramiona były skierowane do góry, to najwyższą wartością byłoby \(+\infty\). Do obliczenia wartości współczynnika \(a\) wykorzystamy punkt \(A=(-1,3)\), który należy do wykresu tej funkcji. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru wyznaczonego w poprzednim kroku i otrzymujemy:

$$f(x)=a(x+3)^2+4 \\

3=a(-1+3)^2+4 \\

-1=a\cdot2^2 \\

-1=4a \\

a=-\frac{1}{4}$$ Poszukiwanym wzorem funkcji kwadratowej jest więc \(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\). Oczywiście moglibyśmy jeszcze wykonać potęgowanie (choć nie jest to już konieczne) i wtedy otrzymalibyśmy postać ogólną:

$$f(x)=-\frac{1}{4}(x^2+6x+9)+4 \\

f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{6}{4}x-\frac{9}{4}+4 \\

f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$$

Odpowiedź:

\(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\) lub zapisując to w postaci ogólnej \(f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}\) Funkcja kwadratowa \(f\), dla \(x=-3\) przyjmuje wartość największą równą \(4\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(A=(-1,3)\). Zapisz wzór funkcji kwadratowej \(f\).

17. Przekształcanie funkcji

Podpowiedź: Najtrudniejsze są przesunięcia w prawo/lewo, bo są one dość nieintuicyjne. Jeśli funkcję \(f(x)\) przesuwamy w prawo, to nasza nowa funkcja ma wzór typu \(g(x)=f(x-1)\) (czyli z minusem wewnątrz), a gdy przesuwamy ją w lewo to możemy mieć wzór typu \(h(x)=f(x+1)\) (czyli z plusem wewnątrz).

Ostatnia deska ratunku: Jak są podane jakieś rysunki, a my szukamy wzoru przekształconej funkcji, podstawmy sobie do wzorów z odpowiedzi ABCD np. \(x=1\), \(x=2\) i zobaczmy jaką wartość przyjmie funkcja dla takich argumentów. Wtedy będziemy mogli sprawdzić, czy otrzymana wartość jest pokazana także na wykresie.

Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji: \(y=f(x+2)\) \(y=f(x)-2\) \(y=f(x-2)\) \(y=f(x)+2\) Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji \(y=f(x)\) określonej dla \(x\in\langle-7;4\rangle\).Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Wykres funkcji z drugiego rysunku jest przesunięty o dwie jednostki w prawo względem wykresu funkcji z rysunku pierwszego.

To oznacza, że prawidłowym wzorem wykresu drugiej funkcji będzie ten w którym wartość argumentu \(x\) jest pomniejszona o \(2\), czyli \(y=f(x-2)\).

Wykres funkcji z drugiego rysunku jest przesunięty o dwie jednostki w prawo względem wykresu funkcji z rysunku pierwszego. To oznacza, że prawidłowym wzorem wykresu drugiej funkcji będzie ten w którym wartość argumentu \(x\) jest pomniejszona o \(2\), czyli \(y=f(x-2)\). Odpowiedź:

C. \(y=f(x-2)\)

\(g(x)=f(x-1)\) \(g(x)=f(x)-1\) \(g(x)=f(x+1)\) \(g(x)=f(x)+1\) Funkcja \(g\) jest określona wzorem: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Wykres funkcji \(g\) jest przesunięciem funkcji \(f\) o jedno miejsce w dół, zatem:

$$g(x)=f(x)-1$$

Wykres funkcji \(g\) jest przesunięciem funkcji \(f\) o jedno miejsce w dół, zatem: $$g(x)=f(x)-1$$ Odpowiedź:

B. \(g(x)=f(x)-1\)

18. Wyznaczanie wartości jakiegoś wyrazu ciągu arytmetycznego/geometrycznego

Podpowiedź: Zdarza się, że kluczową informacją jest to, że ciąg jest rosnący/malejący/niemonotoniczny. Może to być powód dla którego któreś z otrzymanych rozwiązań trzeba odrzucić. Dlatego też jak otrzymamy dwa możliwe wyniki (a w ciągach geometrycznych często tak właśnie będzie, bo będą tam się pojawiać równania kwadratowe) to sprawdźmy zawsze jak zachowuje się ciąg dla pierwszego i drugiego rozwiązania.

Ostatnia deska ratunku: Próbujmy rozpisywać kolejne wyrazy ciągu, może w ten ręczny sposób dojdziemy do tego czego poszukujemy.

\(45\) \(50\) \(55\) \(60\) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) w którym różnica \(r=-2\) oraz \(a_{20}=17\). Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Wartość pierwszego wyrazu obliczymy korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym znajduje się poszukiwana przez nas wartość \(a_{1}\):

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\

a_{20}=a_{1}+(20-1)r \\

17=a_{1}+19\cdot(-2) \\

17=a_{1}-38 \\

a_{1}=55$$

Wartość pierwszego wyrazu obliczymy korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym znajduje się poszukiwana przez nas wartość \(a_{1}\): $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\ a_{20}=a_{1}+(20-1)r \\ 17=a_{1}+19\cdot(-2) \\ 17=a_{1}-38 \\ a_{1}=55$$ Odpowiedź:

C. \(55\)

\(a_{4}=26\) \(a_{4}=432\) \(a_{4}=32\) \(a_{4}=2592\) W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) dane są: \(a_{1}=2\) i \(a_{2}=12\). Wtedy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Wyznaczenie wartości ilorazu \(q\). Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (czyli \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\)) możemy wyznaczyć wartość \(q\) z następującego wzoru:

$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\

q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\

q=\frac{12}{2}=6$$ Krok 2. Wyznaczenie wartości czwartego wyrazu ciągu geometrycznego. Znając wartość \(a_{1}\) oraz \(q\) możemy obliczyć wartość czwartego wyrazu ciągu geometrycznego:

$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\

a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\

a_{4}=a_{1}\cdot 6^{4-1} \\

a_{4}=2\cdot6^3 \\

a_{4}=2\cdot216 \\

a_{4}=432$$

Odpowiedź:

B. \(a_{4}=432\)

19. Wyznaczanie różnicy/ilorazu ciągu

Podpowiedź: W ciągach arytmetycznych sprawa jest prosta – dodatnia różnica oznacza, że ciąg jest rosnący. Jednak w ciągach geometrycznych nie jest to takie oczywiste i dodatni iloraz ciągu wcale nie musi dawać nam ciągu rosnącego. Przykładowo jak pierwszy wyraz jest równy \(-2\), to dodatni iloraz ciągu sprawia, że każdy kolejny wyraz robi się coraz mniejszy. Zawsze więc bądźmy ostrożni z wyciąganiem różnych wniosków.

Ostatnia deska ratunku: Jak szukamy wartości różnicy lub ilorazu, to możemy próbować podstawiać poszczególne odpowiedzi, sprawdzając która różnica lub który iloczyn będzie tym właściwym.

\(-1\) \(1\) \(-2\) \(3\) Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=-2n+1\) dla \(n\ge1\). Różnica tego ciągu jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Aby obliczyć różnicę tego ciągu wystarczy obliczyć różnicę między wartościami dwóch wyrazów sąsiednich. Krok 1. Obliczenie wartości ciągu dla \(n=1\) oraz \(n=2\). $$a_{1}=-2\cdot1+1=-2+1=-1 \\

a_{2}=-2\cdot2+1=-4+1=-3$$ Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. $$r=a_{2}-a_{1}=-3-(-1)=-2$$ Tak na marginesie, to wyliczona ujemna różnica \(r=-2\) świadczy o tym, że jest to ciąg malejący.

Aby obliczyć różnicę tego ciągu wystarczy obliczyć różnicę między wartościami dwóch wyrazów sąsiednich. Odpowiedź:

C. \(-2\)

\(8\) \(2\) \(\frac{1}{8}\) \(-\frac{1}{2}\) W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) dane są \(a_{1}=3\) i \(a_{4}=24\). Iloraz tego ciągu jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

W tym zadaniu musimy obliczyć wartość ilorazu \(q\), a do tego celu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ Korzystając z tego wzoru możemy podstawić podstawić nasze dane z zadania i otrzymamy:

$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \\

a_{4}=a_{1}\cdot q^{3} \\

\frac{a_{4}}{a_{1}}=q^{3} \\

q^{3}=\frac{24}{3} \\

q^{3}=8 \\

q=2$$

W tym zadaniu musimy obliczyć wartość ilorazu \(q\), a do tego celu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego: $$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ Odpowiedź:

B. \(2\)

20. Obliczanie wartości wyrazu ciągu arytmetycznego/geometrycznego, gdy podane są trzy sąsiednie wyrazy

Podpowiedź: Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi relacja: \(a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\), natomiast dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi relacja: \(a_{2}^2=a_{1}\cdot a_{3}\).

Ostatnia deska ratunku: Sprawdźmy zawsze, czy otrzymane wyniki mają w ogóle sens. Może się okazać, że jakieś rozwiązanie trzeba odrzucić chociażby dlatego, że ciąg jest rosnący.

Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Skoro wskazane liczby są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to zajdzie między nimi następująca równość:

$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$ Podstawiając dane z treści zadania do powyższego wzoru wyznaczymy poszukiwaną wartość \(x\).

$$6=\frac{2x+1+16x+2}{2} \\

6=\frac{18x+3}{2} \\

12=18x+3 \\

18x=9 \\

x=\frac{1}{2}$$

Skoro wskazane liczby są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to zajdzie między nimi następująca równość: $$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$ Odpowiedź:

\(x=\frac{1}{2}\) Liczby \(2x+1\), \(6\), \(16x+2\) są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).

\(-4\) \(1\) \(0\) \(-1\) Ciąg \((x,\;2x+3,\;4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Skorzystamy tutaj ze wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego:

$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\

{a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\

{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\

(2x+3)^2=x\cdot(4x+3) \\

4x^2+12x+9=4x^2+3x \\

9x+9=0 \\

9x=-9 \\

x=-1$$ Skoro nasz pierwszy wyraz jest równy \(x\) to znaczy że jego wartość wynosi dokładnie \(-1\).

Skorzystamy tutaj ze wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego: $${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\ {a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\ {a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\ (2x+3)^2=x\cdot(4x+3) \\ 4x^2+12x+9=4x^2+3x \\ 9x+9=0 \\ 9x=-9 \\ x=-1$$ Odpowiedź:

D. \(-1\)

21. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego/geometrycznego

Podpowiedź: Często problematycznym elementem tych zadań jest nieznajomość wartości pierwszego wyrazu. Jeżeli więc zajdzie taka konieczność, to trzeba wyznaczyć ten pierwszy wyraz czy to ze wzoru ciągu, czy też z informacji na temat innych znanych nam wyrazów i różnicy/iloczynu ciągu.

Ostatnia deska ratunku: Całej sumy wyrazów raczej ręcznie nie policzymy (no chyba, że tych wyrazów jest naprawdę mało), ale ręcznie możemy dochodzić do wartości pierwszego czy też ostatniego wyrazu, które trzeba podstawić do danego wzoru.

\(a_{10}=\frac{7}{2}\) \(a_{10}=4\) \(a_{10}=\frac{32}{5}\) \(a_{10}=32\) Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest równa \(35\). Pierwszy wyraz \(a_{1}\) tego ciągu jest równy \(3\). Wtedy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$ Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie wartości dziesiątego wyrazu tego ciągu. Z treści zadania wiemy, że \(S_{n}=35\), oraz że \(a_{1}=3\), zatem bez problemu wyznaczymy poszukiwaną wartość \(a_{10}\):

$$35=\frac{3+a_{10}}{2}\cdot10 \\

35=(3+a_{10})\cdot5 \\

35=15+5a_{10} \\

20=5a_{10} \\

a_{10}=4$$

Sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako: $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$ Odpowiedź:

B. \(a_{10}=4\)

\(2(1-2^{10})\) \(-2(1-2^{10})\) \(2(1+2^{10})\) \(-2(1+2^{10})\) Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\) dla \(n\ge1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu \(q\). Aby wyznaczyć wartość ilorazu \(q\) obliczmy sobie najpierw wartość pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu:

$$a_{n}=2n \\

a_{1}=2^1=2 \\

a_{2}=2^2=4$$ $$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$$ Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów. Znając wartość ilorazu \(q\) oraz wartość pierwszego wyrazu, możemy skorzystać z następującego wzoru:

$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\

S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \\

S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{-1} \\

S_{10}=-2\cdot(1-2^{10})$$

Odpowiedź:

B. \(-2(1-2^{10})\)

22. Odczytywanie wartości funkcji trygonometrycznych z tablic

Uwaga! Na maturze 2022 nie będzie przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych, więc drugie zadanie można pominąć podczas przygotowań 🙂

Podpowiedź: Kąty dla sinusów i tangensów odczytujemy z kolumny \(α\), natomiast kąty dla cosinusów odczytujemy z kolumny \(β\).

Ostatnia deska ratunku: Zazwyczaj interesują nas kąty \(30°\), \(45°\) lub \(60°\), a wartości tych kątów znajdziemy w małej tabelce trygonometrycznej (jest w tablicach w dziale „trygonometria”).

\(2-\frac{3\sqrt{3}}{2}\) \(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(4-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(4+\frac{3\sqrt{3}}{2}\) Wartość wyrażenia \((tg60°+tg45°)^2-sin60°\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

W tym zadaniu tak naprawdę musimy tylko odczytać z tablic poszczególne wartości i wykonać poprawnie działania na pierwiastkach i potęgach:

$$(tg60°+tg45°)^2-sin60°= \\

=(\sqrt{3}+1)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\

=3+2\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\

=\frac{2\cdot(3+2\sqrt{3}+1)}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\

=\frac{8+4\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\

=-\frac{8+3\sqrt{3}}{2}= \\

=4+\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

W tym zadaniu tak naprawdę musimy tylko odczytać z tablic poszczególne wartości i wykonać poprawnie działania na pierwiastkach i potęgach: $$(tg60°+tg45°)^2-sin60°= \\ =(\sqrt{3}+1)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =3+2\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{2\cdot(3+2\sqrt{3}+1)}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =\frac{8+4\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}= \\ =-\frac{8+3\sqrt{3}}{2}= \\ =4+\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ Odpowiedź:

D. \(4+\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Kąt \(α\), pod jakim ustawiono drabinę, spełnia warunek: \(0°\lt α\lt 30°\) \(30°\lt α\lt 45°\) \(45°\lt α\lt 60°\) \(60°\lt α\lt 90°\) Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cosα\). Z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wynika, że zależność między przyprostokątną leżącą przy danym kącie, a przeciwprostokątną możemy opisać funkcją cosinus:

$$cosα=\frac{1,30}{4} \\

cosα=0,325$$ Krok 2. Odczytanie miary kąta z tablic trygonometrycznych. Musimy teraz poprawnie odczytać z tablic trygonometrycznych dla jakiego kąta ostrego funkcja cosinus przyjmuje wartość około \(0,325\). Najbliżej tej wartości jest kąt \(71°\), zatem \(60°\lt α\lt 90°\). Uwaga! Wiele osób błędnie odczytuje z tablic, że poszukiwanym kątem jest ten o mierze \(19°\). To byłby kąt \(19°\) gdybyśmy mieli funkcję sinus, a nie cosinus.

Odpowiedź:

D. \(60°\lt α\lt 90°\) Drabinę o długości \(4\) metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono w odległości \(1,30m\) od tego muru (zobacz rysunek).

23. Mając wartość jednej funkcji trygonometrycznej, wyznacz wartość innej funkcji

Podpowiedź: W takich zadaniach trzeba zazwyczaj korzystać z jedynki trygonometrycznej i z tego, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\).

Ostatnia deska ratunku: Tak prawdę mówiąc to jak podadzą nam że np. \(sinα=\frac{3}{5}\) i szukamy wartości cosinusa czy tangensa dla tego kąta, to możemy w tablicach sprawdzić dla jakiego kąta \(α\) sinus przyjmuje wartość równą \(\frac{3}{5}\) (w przybliżeniu oczywiście). Jak już znamy miarę kąta \(α\), to możemy sprawdzić jaką wartość przyjmuje ten cosinus/tangens dla tego kąta. Wyniki wyjdą nam w pewnym przybliżeniu, ale zazwyczaj przybliżenie będzie na tyle dobre, że bez problemu wskażemy poprawną odpowiedź.

\(\frac{1}{4}\) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) \(\frac{7}{16}\) Kąt \(α\) jest ostry i \(cosα=\frac{3}{4}\). Wtedy \(sinα\) jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Skorzystamy tutaj z tzw. „jedynki trygonometrycznej”, podstawiając do wzoru wartość cosinusa:

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

sin^2α+\left(\frac{3}{4}\right)^2=1 \\

sin^2α+\frac{9}{16}=1 \\

sin^2α=\frac{7}{16} \\

sinα=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{7}{16}} \\

sinα=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$ Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to sinus musi przyjąć wartość dodatnią, stąd też prawidłowa jest odpowiedź \(sinα=\frac{\sqrt{7}}{4}\).

Skorzystamy tutaj z tzw. „jedynki trygonometrycznej”, podstawiając do wzoru wartość cosinusa: $$sin^2α+cos^2α=1 \\ sin^2α+\left(\frac{3}{4}\right)^2=1 \\ sin^2α+\frac{9}{16}=1 \\ sin^2α=\frac{7}{16} \\ sinα=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{7}{16}} \\ sinα=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$ Odpowiedź:

C. \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

\(\frac{7}{6}\) \(\frac{7\cdot13}{120}\) \(\frac{7}{\sqrt{120}}\) \(\frac{7}{13\sqrt{120}}\) Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{7}{13}\). Wtedy \(tgα\) jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie wartości cosα. Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:

$$cos^2α=1-sin^2α \\

cos^2α=1-\left(\frac{7}{13}\right)^2 \\

cos^2α=1-\frac{49}{169} \\

cos^2α=\frac{120}{169} \\

cosα=\sqrt{\frac{120}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{120}{169}} \\

cosα=\frac{\sqrt{120}}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{120}}{13}$$ Kąt \(α\) jest ostry, więc ujemną wartość cosinusa odrzucamy. Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\). Znając wartość sinusa i cosinusa bez problemu wyliczymy wartość tangensa:

$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\

tgα=\frac{\frac{7}{13}}{\frac{\sqrt{120}}{13}} \\

tgα=\frac{7}{13}:\frac{\sqrt{120}}{13} \\

tgα=\frac{7}{13}\cdot\frac{13}{\sqrt{120}} \\

tgα=\frac{7}{\sqrt{120}}$$

Odpowiedź:

C. \(\frac{7}{\sqrt{120}}\)

24. Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych

Podpowiedź: Aby obliczyć wartość funkcji trygonometrycznej dla kątów rozwartych musimy skorzystać ze wzorów redukcyjnych. Znajdziesz je tutaj: Wzory redukcyjne

Ostatnia deska ratunku: W tablicach maturalnych znajdują się wykresy funkcji trygonometrycznych. Na upartego możemy odczytać z nich przybliżoną wartość interesującego nas kąta rozwartego. Musimy tylko wiedzieć, że \(\frac{\pi}{2}\) to \(90°\), a \(\pi\) to \(180°\).

\(cos60°\) \(cos120°\) \(tg120°\) \(tg60°\) Liczba \(sin150°\) jest równa liczbie: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Musimy skorzystać z jednego ze wzorów redukcyjnych:

$$sin(90°+α)=cosα \\

sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$

Musimy skorzystać z jednego ze wzorów redukcyjnych: $$sin(90°+α)=cosα \\ sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$ Odpowiedź:

A. \(cos60°\)

\(18\sqrt{2}\) \(18\) \(36\sqrt{2}\) \(36\) Pole rombu o boku \(6\) i kącie rozwartym \(150°\) jest równe: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

To zadanie jest bardzo proste do policzenia, o ile pamiętamy że w tablicach matematycznych znajduje się następujący wzór:

$$P=a^2\cdot sinα$$ Zanim jednak skorzystamy z tego wzoru to musimy jeszcze wyznaczyć wartość sinusa \(150°\). Krok 1. Obliczenie wartości \(sin150°\). W tablicach trygonometrycznych nie znajdziemy wartości sinusa dla kątów rozwartych. Musimy więc skorzystać z tzw. wzorów redukcyjnych:

$$sin(180-α)=sinα \\

sin(180°-30°)=sin30° \\

sin150°=sin30°$$ To oznacza, że \(sin150°\) będzie równy \(sin30°\), czyli \(\frac{1}{2}\). Krok 2. Obliczenie pola powierzchni rombu. $$P=a^2\cdot sinα \\

P=6^2\cdot sin150° \\

P=36\cdot\frac{1}{2} \\

P=18$$

To zadanie jest bardzo proste do policzenia, o ile pamiętamy że w tablicach matematycznych znajduje się następujący wzór: $$P=a^2\cdot sinα$$ Odpowiedź:

B. \(18\)

25. Kąt środkowy i wpisany

Podpowiedź: Kluczem do sukcesu jest tutaj oczywiście pamiętanie o tym, że jeżeli kąt środkowy jest opisany na tym samym łuku co kąt wpisany, to miara tego kąta środkowego będzie dwukrotnie większa od kąta wpisanego. Cała trudność tych zadań polega zazwyczaj na tym, by dobrze sprawdzać na jakich łukach są opisane poszczególne kąty. Warto też dodać tutaj informację, że jeżeli okrąg jest podzielony np. na \(6\) równych części, to miara kąta środkowego oparta na takim pojedynczym fragmencie łuku będzie równa \(\frac{1}{6}\cdot360=60°\).

Ostatnia deska ratunku: Rysunki na maturze są zazwyczaj dokładne, a to oznacza że możemy oszacować jaką miarę ma kąt na naszym rysunku, zwłaszcza gdy proponowane odpowiedzi są dosyć zróżnicowane. No dobrze, ale jak określić miary kąta na rysunku, skoro nie mamy kątomierza. Fakt, kątomierza nie mamy, ale parę miar kątów jesteśmy w stanie „wygenerować”. Tak przykładowo, to jak narysujesz sobie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(3\) i \(3\), to otrzymasz kąty \(45°\). Jak narysujesz trójkąt prostokątny o bokach \(3,4,5\), to ten mniejszy kąt ostry ma miarę około \(37°\), a większy ma \(53°\). Jak narysujesz sobie trójkąt równoboczny, to otrzymasz kąt \(60°\) i tak dalej. Można więc w ten sposób dość dobrze porównać miary kątów z tym co jest na głównym rysunku.

\(120°\) \(90°\) \(60°\) \(30°\) Punkty \(A,B,C\) leżące na okręgu o środku \(S\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego \(ASB\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Chcąc obliczyć to zadanie wystarczy skorzystać z własności kątów środkowych i wpisanych, pamiętając o tym, że każdy kąt w trójkącie równobocznym ma miarę \(60°\). Widzimy, że kąty \(ACB\) oraz \(ASB\) są oparte na tym samym łuku. Skoro kąt \(ACB\) wpisany na okręgu ma \(60°\), to kąt środkowy \(ASB\) ma \(2\cdot60°\), czyli \(120°\). Tak na marginesie – to zadanie dałoby się praktycznie rozwiązać bez obliczeń, bo już z samego rysunku widać, że zaznaczony kąt jest kątem rozwartym, a tylko \(120°\) jest takim kątem.

Chcąc obliczyć to zadanie wystarczy skorzystać z własności kątów środkowych i wpisanych, pamiętając o tym, że każdy kąt w trójkącie równobocznym ma miarę \(60°\). Widzimy, że kąty \(ACB\) oraz \(ASB\) są oparte na tym samym łuku. Skoro kąt \(ACB\) wpisany na okręgu ma \(60°\), to kąt środkowy \(ASB\) ma \(2\cdot60°\), czyli \(120°\). Odpowiedź:

A. \(120°\)

\(54°\) \(72°\) \(60°\) \(45°\) Punkty \(A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\) dzielą okrąg o środku \(S\) na \(10\) równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego \(BGE\) zaznaczonego na rysunku. Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie miary kąta \(BSE\). Dorysujmy sobie odcinek \(SE\) i obliczmy miarę kąta środkowego \(BSE\). Widzimy, że kąt ten stanowi trzy z dziesięciu „cząstek” kąta pełnego, zatem jego miara jest równa:

$$|\sphericalangle BSE|=\frac{3}{10}\cdot360° \\

|\sphericalangle BSE|=108°$$ Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BGE\). Kąt \(BGE\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(BSE\), którego miarę obliczyliśmy przed chwilą. W związku z tym zgodnie z własnościami kątów wpisanych i środkowych kąt ten będzie dwa razy mniejszy od kąta \(BSE\):

$$|\sphericalangle BGE|=108°:2 \\

|\sphericalangle BGE|=54°$$

Odpowiedź:

A. \(54°\)

26. Styczna do okręgu i okręgi styczne

Uwaga! Na maturze 2022 nie będzie okręgów stycznych wewnętrznie i zewnętrznie, więc pierwsze zadanie można pominąć podczas przygotowań 🙂

Podpowiedź: Styczna do okręgu tworzy z promieniem okręgu zawsze kąt prosty i jest to własność z której bardzo często w tym temacie korzystamy.

Ostatnia deska ratunku: W zadaniach ze stycznymi często będzie pojawiał się trójkąt równoramienny, gdzie ramionami są promienie okręgu.

\(2,5\) \(5\) \(10\) \(12,5\) Dane są dwa okręgi o promieniach \(10\) i \(15\). Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest sporządzenie poprawnego rysunku szkicowego. Szukamy długości między środkami tych okręgów. Z rysunku wynika, że ta odległość jest równa \(10\) i taka też jest nasza odpowiedź na to zadanie.

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest sporządzenie poprawnego rysunku szkicowego. Odpowiedź:

C. \(10\)

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe: \(14\) \(2\sqrt{33}\) \(4\sqrt{33}\) \(12\) Okręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek).Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(PO_{1}\). Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek \(PO_{2}\) ma długość równą \(4\), bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej \(PO_{1}\):

$$a^2+b^2=c^2 \\

|PO_{2}|^2+|PO_{1}|^2=|O_{1}O_{2}|^2 \\

4^2+|PO_{1}|^2=7^2 \\

16+|PO_{1}|^2=49 \\

|PO_{1}|^2=33 \\

|PO_{1}|=\sqrt{33}$$ Krok 2. Obliczenie pola powierzchni. Obliczona przez nas długość odcinka \(|PO_{1}|=\sqrt{33}\) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie \(|PO_{2}|=4\). Pole powierzchni tej figury jest więc równe:

$$P=\frac{1}{2}\cdot|PO_{2}|\cdot|PO_{1}| \\

P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{33} \\

P=2\sqrt{33}$$

Odpowiedź:

B. \(2\sqrt{33}\)

27. Trójkąty podobne lub przystające

Podpowiedź: Pamiętaj, że trójkąty podobne to trójkąty mające identyczne miary kątów, ale różne długości boków (jeden trójkąt jest wtedy większy od drugiego). Trójkąty przystające mają jednakowe miary kątów i jednakowe miary boków (czyli są one identyczne i wcale nie muszą się ze sobą stykać). Często też będzie tak, że trójkąty podobne będą narysowane tak jakby „jeden w drugim”.

Ostatnia deska ratunku: W kryzysowych sytuacjach może nam pomóc po prostu linijka. Możemy sobie zmierzyć jaką długość ma na rysunku poszukiwany przez nas bok i sprawdzić jak ma się ta miara do pozostałych boków. Dzięki temu będziemy w stanie podać dobrą długość poszukiwanego boku. Może też zdarzyć się i taka sytuacja, że w zadaniu dowodowym trzeba będzie coś udowodnić wykorzystując trójkąty podobne i nie będziemy pewni czy rzeczywiście są one podobne, czy nie. Nic więc nie stoi na przeszkodzie sprawdzić sobie wstępnie linijką stosunki poszczególnych boków, a jak się upewnimy że trójkąty są lub nie są podobne, to będziemy mogli kombinować dalej.

\(|AE|=2\) \(|AE|=4\) \(|AE|=6\) \(|AE|=12\) Oblicz długość odcinka \(AE\) wiedząc, że \(AB||CD\) i \(|AB|=6\), \(|AC|=4\), \(|CD|=8\). Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Zbudowanie równania na podstawie danych z treści zadania. Wiedząc, że proste \(AB\) oraz \(CD\) są równoległe możemy stwierdzić, że trójkąty \(EAB\) oraz \(ECD\) są trójkątami podobnymi. W związku z tym prawdziwa będzie relacja:

$$\frac{|EA|}{|AB|}=\frac{|EC|}{|CD|} \\

\frac{x}{6}=\frac{x+4}{8}$$ Zwróć szczególną uwagę na odcinek \(EC\). Bardzo często w tego typu zadaniach uczniowie wpisują w tym miejscu długość odcinka \(AC\), co jest błędem. Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania. Najprościej będzie wykonać mnożenie na krzyż, zatem:

$$8x=6\cdot(x+4) \\

8x=6x+24 \\

2x=24 \\

x=12$$ Długość odcinka \(|AE|\) oznaczono na rysunku jako \(x\), więc \(|AE|=12\).

Odpowiedź:

D. \(|AE|=12\)

\(2\) \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) Jeżeli trójkąty \(ABC\) i \(A’B’C’\) są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe \(25cm^2\) i \(50cm^2\), to skala podobieństwa \(\frac{A’B’}{AB}\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Musimy obliczyć skalę podobieństwa boku \(A’B’\) względem \(AB\). Matematycznie rzecz ujmując skalę podobieństwa zapiszemy jako \(\frac{A’B’}{AB}=k\). Naszym zadaniem jest teraz wyznaczyć wartość tego współczynnika \(k\) korzystając z wiedzy na temat pól trójkątów podanych w treści zadania. Jeżeli dwie figury są figurami podobnymi, to ich pola są do siebie podobne w skali \(k^2\). To pozwoli nam ułożyć następujące równanie:

$$k^2=\frac{P_{A’B’C’}}{P_{ABC}} \\

k^2=\frac{50cm^2}{25cm^2} \\

k^2=2 \\

k=\sqrt{2}$$ W ten sposób korzystając z pól powierzchni obliczyliśmy skalę podobieństwa \(k\) między dwoma bokami trójkąta, czyli dokładnie to czego szukaliśmy w tym zadaniu.

Musimy obliczyć skalę podobieństwa boku \(A’B’\) względem \(AB\). Matematycznie rzecz ujmując skalę podobieństwa zapiszemy jako \(\frac{A’B’}{AB}=k\). Naszym zadaniem jest teraz wyznaczyć wartość tego współczynnika \(k\) korzystając z wiedzy na temat pól trójkątów podanych w treści zadania. Jeżeli dwie figury są figurami podobnymi, to ich pola są do siebie podobne w skali \(k^2\). To pozwoli nam ułożyć następujące równanie: $$k^2=\frac{P_{A’B’C’}}{P_{ABC}} \\ k^2=\frac{50cm^2}{25cm^2} \\ k^2=2 \\ k=\sqrt{2}$$ Odpowiedź:

C. \(\sqrt{2}\)

28. Równanie prostej przechodzącej przed dwa punkty

Podpowiedź: Równanie prostej możemy wyznaczyć albo korzystając z układu równań (wtedy pod postać \(y=ax+b\) podstawiamy współrzędne raz jednego, raz drugiego punktu), albo korzystając ze wzoru dostępnego w tablicach \((y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0\).

Ostatnia deska ratunku: W bardzo rozbudowanych zadaniach często musimy wyznaczyć równanie jakiejś prostej tylko po to, by móc uzyskać z niej współczynnik kierunkowy \(a\), który jest potrzebny do wyznaczenia prostej prostopadłej lub równoległej. No i właśnie, jak już kompletnie nie potrafimy napisać wzoru takiej prostej (albo coś nam nie po prostu wychodzi) to możemy chociaż spróbować wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\). Jest to dość łatwe, bo możemy skorzystać ze wzoru: \(a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\). Może się okazać, że wyznaczając ten współczynnik \(a\) zdobędziemy dodatkowe punkty, a i kto wie czy nie popchnie nas to dalej do rozwiązania kolejnych kroków zadania.

\(y=-3x+4\) \(y=3x-4\) \(y=-\frac{1}{3}x+4\) \(y=3x+4\) Dane są punkty \(M=(3,-5)\) oraz \(N=(-1,7)\). Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(M=(x_{M};y_{M})\) oraz \(N=(x_{N};y_{N})\) możemy opisać następującym równaniem:

$$(y-y_{M})(x_{N}-x_{M})-(y_{N}-y_{M})(x-x_{M})=0 \\

(y-(-5))(-1-3)-(7-(-5))(x-3)=0 \\

(y+5)\cdot(-4)-12\cdot(x-3)=0 \\

-4y-20-12x+36=0 \\

-4y-12x+16=0 \\

-4y=12x-16 \quad\bigg/:(-4) \\

y=-3x+4$$

Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(M=(x_{M};y_{M})\) oraz \(N=(x_{N};y_{N})\) możemy opisać następującym równaniem: $$(y-y_{M})(x_{N}-x_{M})-(y_{N}-y_{M})(x-x_{M})=0 \\ (y-(-5))(-1-3)-(7-(-5))(x-3)=0 \\ (y+5)\cdot(-4)-12\cdot(x-3)=0 \\ -4y-20-12x+36=0 \\ -4y-12x+16=0 \\ -4y=12x-16 \quad\bigg/:(-4) \\ y=-3x+4$$ Odpowiedź:

A. \(y=-3x+4\)

\(-\frac{2}{3}\) \(-\frac{3}{2}\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{2}{3}\) Dane są punkty \(A=(6,1)\) i \(B=(3,3)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{1};y_{1})\) oraz \(B=(x_{2};y_{2})\) wyraża się wzorem:

$$a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$ Mamy wszystkie dane, więc wystarczy podstawić odpowiednie liczby i w ten sposób obliczymy współczynnik \(a\):

$$a=\frac{3-1}{3-6}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$$

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{1};y_{1})\) oraz \(B=(x_{2};y_{2})\) wyraża się wzorem: $$a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$ Odpowiedź:

A. \(-\frac{2}{3}\)

29. Długość odcinka

Podpowiedź: Umiejętność obliczania długości odcinka przydaje się nie tylko w prostych zadaniach zamkniętych, ale także w zadaniach gdzie mamy jakieś figury geometryczne narysowane w układzie współrzędnych. Może być właśnie tak, że znając jakieś współrzędne wierzchołków figury będziemy w stanie wyznaczyć jakąś długość boku.

Ostatnia deska ratunku: Jak mamy dobry rysunek pomocniczy to możemy linijką sprawdzić czy obliczona długość jest rzeczywiście poprawna.

\(1\) \(5\) \(5\sqrt{2}\) \(2\sqrt{5}\) Dane są punkty \(P=(-2,-2)\), \(Q=(3,3)\). Odległość punktu \(P\) od punktu \(Q\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, czyli tak naprawdę na odległość między dwoma punktami:

$$|PQ|=\sqrt{(x_{Q}-x_{P})^2+(y_{Q}-y_{P})^2} \\

|PQ|=\sqrt{(3-(-2))^2+(3-(-2))^2} \\

|PQ|=\sqrt{5^2+5^2} \\

|PQ|=\sqrt{25+25} \\

|PQ|=\sqrt{25\cdot2} \\

|PQ|=5\sqrt{2}$$

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, czyli tak naprawdę na odległość między dwoma punktami: $$|PQ|=\sqrt{(x_{Q}-x_{P})^2+(y_{Q}-y_{P})^2} \\ |PQ|=\sqrt{(3-(-2))^2+(3-(-2))^2} \\ |PQ|=\sqrt{5^2+5^2} \\ |PQ|=\sqrt{25+25} \\ |PQ|=\sqrt{25\cdot2} \\ |PQ|=5\sqrt{2}$$ Odpowiedź:

C. \(5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{13}\) \(13\) \(676\) \(8\sqrt{13}\) Punkty \(A=(-1,2)\) i \(B=(5,-2)\) są dwoma kolejnymi wierzchołkami rombu \(ABCD\). Obwód tego rombu jest równy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie długości boku rombu. Z treści zadania możemy wyczytać, że punkty \(A\) i \(B\) są kolejnymi wierzchołkami rombu, czyli że tworzoną one odcinek, który jest jednocześnie bokiem naszej figury. Na początku więc obliczmy długość tego odcinka. Skorzystamy tutaj ze wzoru na długość odcinka, znając jego współrzędne:

$$a=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$$ \(x_{1}\) oraz \(y_{1}\) to współrzędne pierwszego punktu, a \(x_{2}\) oraz \(y_{2}\) to współrzędne drugiego punktu. Podstawiając współrzędne \(A=(-1;2)\) i \(B=(5;-2)\) otrzymamy:

$$a=\sqrt{(5-(-1))^2+(-2-2)^2} \\

a=\sqrt{6^2+(-4)^2} \\

a=\sqrt{36+16} \\

a=\sqrt{52} \\

a=\sqrt{4\cdot13} \\

a=2\sqrt{13}$$ Krok 2. Obliczenie obwodu rombu. Znamy długość jednego z boków rombu, a wiemy że romb ma cztery boki równej długości. To znaczy, że:

$$Obw=4a \\

Obw=4\cdot2\sqrt{13} \\

Obw=8\sqrt{13}$$

Odpowiedź:

D. \(8\sqrt{13}\)

30. Środek odcinka

Podpowiedź: Pamiętaj, że przekątne kwadratu, prostokąta lub rombu przecinają się w połowie swojej długości, czyli tutaj także możemy czasem skorzystać z własności środka odcinka.

Ostatnia deska ratunku: Często dobrą praktyką jest oddzielne obliczanie współrzędnej iksowej i oddzielne współrzędnej igrekowej. Możemy zapisać więc, że \(x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\) oraz \(y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\).

\(B=(5,11)\) \(B=(\frac{1}{2},2)\) \(B=(-\frac{3}{2},-5)\) \(B=(3,11)\) Punkt \(S=(2,7)\) jest środkiem odcinka \(AB\), w którym \(A=(-1,3)\). Punkt \(B\) ma współrzędne: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Współrzędne środka odcinka \(S=(x_{S};y_{S})\) wyznaczymy ze wzoru:

$$S=(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2})$$ Znając współrzędne środka oraz jednego z punktów, możemy wykorzystać ten wzór do wyznaczenia współrzędnych punktu \(B\). Oczywiście można też podstawiać po kolei współrzędne ze wszystkich odpowiedzi, ale spróbujmy to zadanie rozwiązać tak, jakby było ono zadaniem otwartym. Krok 1. Obliczenie współrzędnej \(x_{B}\). $$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\

2=\frac{-1+x_{B}}{2} \\

4=-1+x_{B} \\

x_{B}=5$$ Tak naprawdę już w tym momencie możemy zakończyć obliczenia, bo już widzimy, że pasującą odpowiedzią może być tylko \(A\). Obliczmy jeszcze jednak współrzędną \(y_{B}\). Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(y_{B}\). $$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\

7=\frac{3+y_{B}}{2} \\

14=3+y_{B} \\

y_{B}=11$$ To oznacza, że poszukiwanymi współrzędnymi są \(B=(5,11)\).

Współrzędne środka odcinka \(S=(x_{S};y_{S})\) wyznaczymy ze wzoru: $$S=(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2})$$ Odpowiedź:

A. \(B=(5,11)\)

\(a=5\) i \(b=5\) \(a=-1\) i \(b=2\) \(a=4\) i \(b=10\) \(a=-4\) i \(b=-2\) W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Skorzystamy tutaj ze wzoru na wyznaczenie współrzędnych środka odcinka:

$$M=(x_{M};y_{M})=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie z tego wzoru wartości \(x_{A}\) (bo jest ona opisana niewiadomą \(a\)) oraz wartości \(y_{B}\) (która jest opisana niewiadomą \(b\)). Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(a\). $$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\

3=\frac{a+7}{2} \\

6=a+7 \\

a=-1$$ Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(b\). $$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\

4=\frac{6+b}{2} \\

8=6+b \\

b=2$$

Skorzystamy tutaj ze wzoru na wyznaczenie współrzędnych środka odcinka: $$M=(x_{M};y_{M})=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ Odpowiedź:

B. \(a=-1\) i \(b=2\)

31. Proste prostopadłe lub równoległe

Podpowiedź: Proste są równoległe, gdy mają identyczne współczynniki kierunkowe \(a\), natomiast prostopadłe są wtedy, gdy iloczyn współczynników kierunkowych \(a\) jednej i drugiej prostej jest równy \(-1\).

Ostatnia deska ratunku: Jeżeli szukamy wzoru prostej prostopadłej lub równoległej, to bardzo pomocny może być rysunek szkicowy. Warto wtedy po kratkach narysować sobie to co wiemy z treści zadania i dorysować do tego wszystkiego poszukiwaną prostą prostopadłą lub równoległą. Często pozwoli nam to dostrzec jakąś kluczową informację (np. jakiś ważny punkt przecięcia się wykresu z osią iksów lub igreków).

\(y=3x\) \(y=-3x\) \(y=3x+2\) \(y=\frac{1}{3}x+2\) Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\). Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\), zatem współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest równy:

$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\

a=3$$ Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu wykres prostej przetnie się z osią \(Oy\). Skoro prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, czyli punkt o współrzędnych \((0;0)\), to oznacza, że \(b=0\). Równanie poszukiwanej prostej prostopadłej to w takim razie: \(y=3x\).

Odpowiedź:

A. \(y=3x\)

\(y=-2x+3\) \(y=2x+1\) \(y=2x+5\) \(y=-x+1\) Prosta \(k\) ma równanie \(y=2x-3\). Wskaż równanie prostej \(l\) równoległej do prostej \(k\) i przechodzącej przez punkt \(D\) o współrzędnych \((-2,1)\). Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\). Aby dwie proste w postaci \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe to warunkiem koniecznym jest to, aby miały one identyczny współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przykładzie prosta \(k\) ma współczynnik \(a=2\), więc prosta \(l\) musi mieć dokładnie taki sam współczynnik kierunkowy, dlatego będzie ona na pewno opisana wzorem \(y=2x+b\). Dzięki temu już na \(100\%\) wiemy, że pod uwagę bierzemy już tylko drugą i trzecią odpowiedź. Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\). Teraz musimy ustalić jaka jest brakująca wartość współczynnika \(b\). Do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy współrzędne naszego punktu \(D=(-2,1)\), czyli \(x=-2\) oraz \(y=1\), dzięki czemu poznamy wartość współczynnika \(b\).

$$y=2x+b \\

1=2\cdot(-2)+b \\

1=-4+b \\

b=5$$ Krok 3. Zapisanie wzoru poszukiwanej prostej. Skoro \(a=2\) oraz \(b=5\), to prosta \(l\) ma postać \(y=2x+5\).

Odpowiedź:

C. \(y=2x+5\)

32. Równanie z parametrem

Podpowiedź: Zazwyczaj równanie z parametrem będzie miało coś wspólnego ze wzorem prostej/funkcji i wtedy ten parametr będzie ukryty w jakimś konkretnym współczynniku (np. może być ukryty we współczynniku \(a\) funkcji liniowej). W takiej sytuacji musimy pamiętać za co odpowiedzialny jest konkretny współczynnik i jaka powinna być docelowo jego wartość. Jeżeli mamy prostą np. \(y=(m+3)x-6\) i wiemy, że prosta jest rosnąca, to musimy sprawdzić kiedy ta nasza wartość \(m+3\) jest większa od zera, bo dla prostych rosnących współczynnik \(a\) jest przecież dodatni.

Ostatnia deska ratunku: Zdarza się, że zadanie z parametrem da się rozwiązać podstawiając po prostu po kolei proponowane odpowiedzi.

\(m=-1\) \(m=-\frac{1}{3}\) \(m=\frac{1}{3}\) \(m=1\) Proste o równaniach: \(y=mx-5\) oraz \(y=(1-2m)x+7\) są równoległe, gdy: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=m\). Druga ma \(a=1-2m\), zatem:

$$m=1-2m \\

3m=1 \\

m=\frac{1}{3}$$

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=m\). Druga ma \(a=1-2m\), zatem: $$m=1-2m \\ 3m=1 \\ m=\frac{1}{3}$$ Odpowiedź:

C. \(m=\frac{1}{3}\)

\(m=-1\) \(m=0\) \(m=1\) \(m=2\) Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\).

$$-2=(m-1)\cdot5+3 \\

-2=5m-5+3 \\

-2=5m-2 \\

5m=0 \\

m=0$$

Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\). $$-2=(m-1)\cdot5+3 \\ -2=5m-5+3 \\ -2=5m-2 \\ 5m=0 \\ m=0$$ Odpowiedź:

B. \(m=0\)

33. Zadania z figurami płaskimi

Podpowiedź: Tu zadania mogą być różnorodne, same figury mogą też przydać się w dużym zadaniu otwartym z bryłami. Z takich kluczowych rzeczy o których czasem zapominacie to własności figur płaskich. Podam więc może trzy takie najistotniejsze, które często Wam umykają. Po pierwsze – w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Po drugie – wysokość pada zawsze na podstawę pod kątem prostym (czyli co za tym idzie – powstaje nam gdzieś trójkąt prostokątny, zatem często będziemy skorzystać tam z Twierdzenia Pitagorasa czy też z funkcji trygonometrycznych). Po trzecie – w tablicach matematycznych mamy parę ciekawych wzorów na pola powierzchni figur, które to wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne. Jak w zadaniu jest podany kąt i zadanie jest związane w jakiś sposób z polem powierzchni, to często te wzory błyskawicznie zaprowadzą nas do sukcesu.

Ostatnia deska ratunku: Jeżeli zadanie jest zamknięte, a nam brakuje długości jakiegoś boku lub jakiejś wysokości (np. do policzenia pola powierzchni), to może się okazać, że tę brakującą wartość odczytamy z pomocą linijki (przynajmniej w przybliżeniu).

\(\sqrt{3}\) \(3\) \(2\sqrt{3}\) \(2\) Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym \(60°\) i ramieniu długości \(2\sqrt{3}\) jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Z rysunku widać wyraźnie, że wartość \(h\) (czyli wysokość naszego trapezu) wyliczymy korzystając z sinusa kąta \(60°\). Możemy też zastosować tutaj własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu. $$sin60°=\frac{h}{2\sqrt{3}} \\

\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{2\sqrt{3}} \\

h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2\sqrt{3} \\

h=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$

Odpowiedź:

B. \(3\)

Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie długości boku rombu. Znając miarę kąta między bokami rombu oraz jego pole powierzchni, możemy wyznaczyć długość boku rombu z następującego wzoru dostępnego w tablicach matematycznych:

$$P=a^2\cdot sinα \\

50\sqrt{2}=a^2\cdot sin45° \\

50\sqrt{2}=a^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\

100\sqrt{2}=a^2\cdot\sqrt{2} \quad\bigg/:\sqrt{2} \\

a^2=100 \\

a=10$$ Krok 2. Obliczenie wysokości rombu. Znamy pole powierzchni, znamy długość boku rombu, więc do wyznaczenia poszukiwanej wysokości możemy posłużyć się następującym wzorem na pole rombu:

$$P=a\cdot h \\

50\sqrt{2}=10\cdot h \\

h=5\sqrt{2}$$

Odpowiedź:

\(h=5\sqrt{2}\) Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę \(45°\), a jego pole jest równe \(50\sqrt{2}\). Oblicz wysokość tego rombu.

34. Zadania z graniastosłupem/ostrosłupem.

Uwaga! Na maturze 2022 nie będzie rozbudowanych zadań z ostrosłupami, w których trzeba powiązać miary kątów z długościami boków (czyli takich, gdzie wykorzystujemy trygonometrię). Ale to nie oznacza, że ostrosłupy nie mogą się pojawić – mogą jak najbardziej, a te dwa poniższe zadania są tego najlepszym przykładem 🙂

Podpowiedź: Jeżeli graniastosłup/ostrosłup jest prawidłowy, to znaczy że w podstawie ma figurę foremną czyli np. trójkąt równoboczny, kwadrat itd. Może się więc okazać, że korzystając z własności takiej figury, uda nam się wyznaczyć brakującą długość do obliczenia objętości lub pola powierzchni całkowitej.

Ostatnia deska ratunku: Takie zadania zazwyczaj są w części otwartej, sprawdzany więc będzie sposób rozwiązania zadania. Jednak bardzo często punkt można nie tylko za obliczenia, ale za sam rysunek. Spróbuj więc na rysunku zaznaczyć to co jest podane w treści zadania, to czego szukamy oraz jakieś kluczowe rzeczy które widzisz że mogą się przydać (np. wysokość ostrosłupa, może jakaś przekątna kwadratu w podstawie itd.). Nie bój się też wyliczać różne długości, często nawet za obliczenie przekątnej kwadratu znajdującego się w podstawie można dostać punkt, bo potem się okazuje że był to jeden z kroków na drodze do końcowego wyniku.

\(27\) \(27\sqrt{3}\) \(243\) \(243\sqrt{3}\) Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa \(81\sqrt{3}\). Objętość graniastosłupa jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Wzór na objętość graniastosłupa:

$$V_{g}=P_{p}\cdot H$$ Wzór na objętość ostrosłupa:

$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ Podstawmy teraz do wzoru na objętość ostrosłupa objętość z treści zadania:

$$81\sqrt{3}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \quad\bigg/\cdot3 \\

243\sqrt{3}=P_{p}\cdot H$$ Po prawej stronie równania otrzymaliśmy wzór na pole graniastosłupa. W związku z tym \(V_{g}=243\sqrt{3}\).

Wzór na objętość graniastosłupa: $$V_{g}=P_{p}\cdot H$$ Odpowiedź:

D. \(243\sqrt{3}\)

Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(|AD|=12\), \(|BC|=6\), \(|BD|=|CD|=13\).

Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego. W zasadzie do obliczenia objętości brakuje nam tylko pola podstawy, bo wysokość bryły już znamy. Aby obliczyć to pole to potrzebna byłaby wysokość trójkąta, który znalazł się w podstawie. Wyliczymy ją bez problemu jeśli poznamy długości boków \(AB\) i \(AC\) i właśnie od tego rozpoczniemy obliczenia. Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) i \(AC\). Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa. Aby obliczyć bok \(AB\) wystarczy wziąć do obliczeń duży trójkąt \(ABD\), którego miary dwóch boków są nam znane, a więc:

$$a^2+b^2=c^2 \\

|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\

|AB|^2+12^2=13^2 \\

|AB|^2+144=169 \\

|AB|^2=25 \\

|AB|=5 \quad\lor\quad |AB|=-5$$ (wartość ujemną odrzucamy, bo bok nie może mieć długości ujemnej) Długość boku \(AC\) wyliczymy dokładnie w ten sam sposób, tyle tylko że skorzystamy z trójkąta \(ACD\). Jego wymiary są identyczne co trójkąta \(ABD\) (są to więc trójkąty przystające), a więc i bok \(AC\) ma długość \(5\). Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\). W podstawie mamy trójkąt równoramienny, a więc jego wysokość podzieli nam bok \(BC\) na dwie równe części. Wysokość trójkąta wyliczymy więc używając ponownie Twierdzenia Pitagorasa.

$$a^2+b^2=c^2 \\

h^2+|CE|^2=|AC|^2 \\

h^2+3^2=5^2 \\

h^2+9=25 \\

h^2=16 \\

h=4 \quad\lor\quad h=-4$$ (wartość ujemną oczywiście odrzucamy) Krok 4. Obliczenie pola podstawy trójkąta znajdującego się w podstawie. $$P_{p}=\frac{1}{2}a\cdot h \\

P_{p}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4 \\

P_{p}=12$$ Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa. Znając już wszystkie potrzebne miary możemy bez problemu obliczyć objętość ostrosłupa:

$$P_{p}=12 \\

H=12 \\

V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12=48$$

Odpowiedź:

Objętość ostrosłupa jest równa \(48\). Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(|AD|=12\), \(|BC|=6\), \(|BD|=|CD|=13\).

35. Bryły obrotowe

Uwaga! Tego zagadnienia nie będzie na maturze 2022 🙂

Podpowiedź: Kiedy mamy narysowany przekrój stożka lub walca, to wysokość stożka/walca dzieli nam dolną krawędź na dwie równe części, gdzie każda z nich ma długość równą promieniowi okręgu znajdującego się w podstawie. Pamiętaj też, że jedną z częstszych pułapek jest podawanie w treści zadania długości średnicy, a nie promienia (a to promień jest nam potrzebny do wyliczania np. objętości).

Ostatnia deska ratunku: Jeżeli na przekroju kąt między tworzącą stożka i promieniem podstawy ma miarę \(45°\), to trójkąt składający się z wysokości trójkąta, promienia i tworzącej stożka jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.

\(2\sqrt{2}\) \(16π\) \(4\sqrt{2}\) \(8π\) Tworząca stożka ma długość \(4\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(45°\). Wysokość tego stożka jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Widzimy, że promień, wysokość oraz tworząca stożka utworzyły nam trójkąt prostokątny \(ABC\). Znamy tylko długość tworzącej stożka oraz miarę kąta jej nachylenia do podstawy, więc chcąc obliczyć wysokość stożka musimy skorzystać albo z własności trójkątów \(45°, 45°, 90°\) albo z trygonometrii. Krok 2. Obliczenie wysokości stożka. Korzystając z zasad trygonometrii otrzymamy:

$$sin45°=\frac{h}{l} \\

\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{4} \\

h=2\sqrt{2}$$

Odpowiedź:

A. \(2\sqrt{2}\)

\(576π\) \(192π\) \(144π\) \(48π\) Dany jest stożek o wysokości \(4\) i średnicy podstawy \(12\). Objętość tego stożka jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Do wzoru na objętość stożka potrzebujemy znać długość promienia podstawy. W treści zadania mamy podaną średnicę, zatem:

$$r=12:2=6$$ Teraz możemy podstawić wszystkie dane z treści zadania (\(r=6\), \(H=4\)) i obliczyć poszukiwaną objętość:

$$V=\frac{1}{3}πr^2 H \\

V=\frac{1}{3}π\cdot6^2\cdot4 \\

V=\frac{1}{3}π\cdot36\cdot4 \\

V=\frac{1}{3}π\cdot144 \\

V=48π$$

Do wzoru na objętość stożka potrzebujemy znać długość promienia podstawy. W treści zadania mamy podaną średnicę, zatem: $$r=12:2=6$$ Odpowiedź:

D. \(48π\)

36. Średnia arytmetyczna, mediana i inne

Podpowiedź: Pamiętaj, że zanim zaczniemy liczyć medianę to trzeba uszeregować liczby od najmniejszej do największej.

Ostatnia deska ratunku: Jeżeli liczba wyrazów jest nieparzysta, to mediana nie może być liczbą, której nie ma w zbiorze.

\(2\) \(2,5\) \(5\) \(3,5\) W czterech rzutach sześcienną kostką do gry otrzymano następujące liczby oczek: \(6, 3, 1, 4\). Mediana tych danych jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Uporządkowanie wyników rzutu kostką. Aby obliczyć medianę musimy najpierw ustawić wyniki z rzutów w porządku niemalejącym, zatem:

$$1,3,4,6$$ Krok 2. Obliczenie mediany. W przypadku ciągu, który ma nieparzystą liczbę elementów, medianą jest środkowy wyraz. Nasz ciąg ma jednak parzystą liczbę elementów (dokładnie cztery), a więc aby uzyskać medianę musimy obliczyć średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W naszym przypadku środkowymi wyrazami są \(3\) oraz \(4\), tak więc mediana będzie równa:

$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Odpowiedź:

D. \(3,5\)

\(6\) \(7\) \(10\) \(5\) Średnia arytmetyczna liczb: \(x,13,7,5,5,3,2,11\) jest równa \(7\). Mediana tego zestawu liczb jest równa: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\). Zanim obliczymy medianę musimy poznać wartość niewiadomej \(x\). Zrobimy to układając proste równanie związane ze średnią arytmetyczną:

$$\frac{x+13+7+5+5+3+2+11}{8}=7 \\

\frac{x+46}{8}=7 \quad\bigg/\cdot8 \\

x+46=56 \\

x=10$$ Krok 2. Uporządkowanie liczb i wyznaczenie mediany. Zanim zaczniemy obliczać medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym:

$$2,3,5,5,7,10,11,13$$ Mamy parzystą liczbę wyrazów, więc medianę wyznaczymy w następujący sposób:

$$m=\frac{5+7}{2} \\

m=\frac{12}{2} \\

m=6$$

Odpowiedź:

A. \(6\)

37. Obliczanie ilości kombinacji

Podpowiedź: Zawsze zwracaj uwagę na to, czy dane liczby (lub inne zdarzenia) mogą się powtarzać, czy też nie. Czasem trzeba wywnioskować to z treści zadania, czasem będzie to zapisane wprost i będzie użyty zwrot „ze zwracaniem” lub „bez zwracania”.

Ostatnia deska ratunku: Jeżeli chcesz wypisać sobie jakieś kombinacje, to nie rozpisuj zdarzeń chaotycznie, tylko ustal sobie jakąś regułę wypisywania.

\(100\) \(90\) \(45\) \(20\) Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród \(10\) zawodników? Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie:

Zadanie można policzyć na dwa sposoby. I sposób – korzystając z tzw. reguły mnożenia. Wybierając pierwszego gracza dokonujemy wyboru spośród \(10\) zawodników.

Wybierając drugiego gracza dokonamy wyboru już tylko spośród \(9\) zawodników.

To dałoby nam łączną liczbę kombinacji równą \(10\cdot9=90\), ale to niestety nie jest koniec zadania. Musimy jeszcze zauważyć, że w ten sposób niejako zdublowały nam się poszczególne pary. Przykładowo wybór Lewandowski-Grosicki jest tym samym co wybór Grosicki-Lewandowski, a według tego co obliczyliśmy przed chwilą byłyby to dwie oddzielne kombinacje. Dlatego też musimy jeszcze nasze \(90\) kombinacji podzielić na \(2\) i tak oto otrzymamy odpowiedź, że możemy naszych zawodników wybrać na \(4\)5 sposobów. II sposób – korzystając ze wzoru na liczbę kombinacji. $$C_{10}^2=\binom{10}{2}=\frac{10!}{(10-2)!\cdot2!}=\frac{8!\cdot9\cdot10}{8!\cdot2}=\frac{90}{2}=45$$

Zadanie można policzyć na dwa sposoby. Odpowiedź:

C. \(45\)

Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu naszej liczby. Zgodnie z treścią zadania pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc mogą to być tylko i wyłącznie \(2\), \(4\), \(6\) lub \(8\). Cyfrę \(0\) odrzucamy, bo nie może być pierwszą cyfrą w liczbie. Krok 2. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu naszej liczby. Na każdym z pozostałych miejsc możemy mieć jedną z pięciu cyfr nieparzystych: \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) lub \(9\). Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji. Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich kombinacji będzie:

$$|Ω|=4\cdot5\cdot5\cdot5=500$$

Odpowiedź:

\(500\) liczb. Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste.

38. Obliczanie prawdopodobieństwa

Podpowiedź: Zwróć uwagę na to, czy proszą nas w treści zadania o wyliczenie prawdopodobieństwa np. wylosowania liczby \(3\), czy też liczb większych od \(3\). Albo czy mamy policzyć prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch reszek, czy też przynajmniej dwóch reszek. Naprawdę wiele osób źle rozwiązuje zadanie właśnie ze względu na niedoczytanie warunków zadania.

Ostatnia deska ratunku: Czasem najlepszym sposobem na obliczenie ilości np. zdarzeń sprzyjających jest po prostu wypisanie sobie wszystkich możliwości.

\(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{9}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{18}\) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi: Rozwiązanie

Odpowiedź Rozwiązanie: Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych. Na każdej kostce mamy sześć możliwości, rzuty kostek są względem siebie niezależne, więc liczba możliwych kombinacji przy rzucie dwoma kostkami jest równa:

$$|Ω|=6\cdot6=36$$ Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających. Zgodnie z treścią zadania wiemy, że zdarzeniami sprzyjającymi są te, których suma oczek jest równa trzy. Mamy tylko dwie takie możliwości: \((2;1)\) oraz \((1;2)\). Tak więc \(|A|=2\). Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:

$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$

Odpowiedź:

D. \(\frac{1}{18}\)

Przygotowanie do matury z matematyki

Egzamin dojrzałości z matematyki przez 25 lat, aż do 2010 roku, był nieobowiązkowy. Królowa nauk wróciła i od 12 lat konieczne jest jej zdanie na poziomie podstawowym na minimum 30% oraz możliwe jest zdawanie na poziomie rozszerzonym. Jednak jak przeprowadzić dobre przygotowanie do matury z matematyki? Indeks w Kieszeni przychodzi z pomocą!

Dla wielu osób matematyka jest czarną magią, dlatego podchodzą do egzaminu maturalnego z matematyki tylko w zakresie podstawowym. Odpowiednie przygotowanie do matury z matematyki na poziomie podstawowym również jest trudnym zadaniem. Kiedy jest matura i jak przekroczyć wymagany próg? Jakie działy są najpopularniejsze na maturze? Jak wygląda egzamin maturalny? Między innymi na te pytania znajdziesz odpowiedź w tym artykule.

Jeżeli jednak wybierasz się na studia techniczne, medyczne czy prawnicze, to musisz wiedzieć, że na te oraz wiele innych kierunków wymagane jest uzyskanie wysokiego wyniku na maturze rozszerzonej z matematyki! Dlaczego? Matematyka jako królowa nauk, jest podstawą dla wielu innych dziedzin – nie tylko ścisłych! Aby dostać się na niektóre kierunki studiów, należy uzyskać wynik z matury rozszerzonej z matematyki w okolicach 80 – 90% możliwych do zdobycia punktów. Czy to dużo? Jak zaplanować przygotowanie do matury z matematyki, aby uzyskać taki wynik?

W celu udzielenia odpowiedzi na powyższe pytania odnośnie do przygotowań do matury z matematyki zarówno na poziomie podstawowym, jak i rozszerzonym, warto przybliżyć najważniejsze kwestie związane z tymi egzaminami.

Ile trwa i jak wygląda matura z matematyki?

Ile trwa matura z matematyki? Jak wygląda? Jakie przybory można zabrać ze sobą na salę? Te pytania każdego roku zadają sobie maturzyści, którzy przygotowują się do najważniejszego egzaminu w swoim życiu – matury. Odpowiedzi na te i inne pytania znajdują się w poniższym artykule.

Ile trwa matura z matematyki?

Egzamin z matematyki na poziomie podstawowym (zdawanej jako przedmiot obowiązkowy) trwa 170 minut. W arkuszu egzaminacyjnym znajdują się pytania weryfikujące wiedzę ucznia z zakresu rozumienia poszczególnych pojęć, umiejętności ich zastosowania w praktyce, a także zadania o charakterze problemowym.

Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym, zdawanej jako przedmiot dodatkowy, trwa natomiast 180 minut i polega na rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów matematycznych.

Jak wygląda matura z matematyki?

Arkusz egzaminacyjny z matematyki składa się z 3 grup zadań.

Pierwsza grupa

Zadania zamknięte – do każdego pytania podane są cztery odpowiedzi, spośród których tylko jedna jest prawidłowa. Każde zadanie punktowane jest w skali 0-1. Podczas egzaminu uczeń musi wskazać poprawną odpowiedź i zaznaczyć ją w karcie odpowiedzi dołączonej do arkusza.

Druga grupa

Zadania otwarte – wymagają udzielenia krótkiej odpowiedzi wraz z krótkim uzasadnieniem. Tego typu zadania punktowane są w skali 0-2 – w przypadku matury podstawowej lub 0-2, 0-3 bądź 0-4 – w przypadku osób zdających egzamin na poziomie rozszerzonym.

Trzecia grupa

Zadania otwarte – wymagają udzielenia bardziej złożonej odpowiedzi. W tym przypadku maturzysta musi staranne przedstawić swój sposób rozumowania oraz umiejętność indywidualnego dobierania najlepszych strategii matematycznych. W zależności od poziomu trudności danego pytania oraz jego rozbudowania, maturzysta może otrzymać maksymalnie 4, 5 lub 6 punktów (w przypadku matury podstawowej) bądź 5, 6, a nawet 7 punktów (w przypadku matury rozszerzonej).

Co ważne, nawet jeśli nie uda się rozwiązać tego typu zadania do końca, bądź w obliczenia wkradnie się błąd, sprawdzający może przyznać punkty cząstkowe.

Co można zabrać ze sobą na salę?

Centralna Komisja Egzaminacyjna (CKE) przygotowała zbiór tablic i wzorów matematycznych, z których mogą korzystać uczniowie podczas wykonywania poszczególnych zadań. Zwykle wręczane są egzaminowanym jeszcze przed rozpoczęciem egzaminu.

Na maturę z matematyki należy zabrać ze sobą m.in.:

dowód osobisty bądź inny dokument potwierdzający tożsamość egzaminowanej osoby;

długopis lub pióro z czarnym wkładem;

linijkę;

cyrkiel;

kalkulator prosty – umożliwiający dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz obliczanie procentów i pierwiastków kwadratowych.

Informacje zawarte w niniejszym artykule dotyczą egzaminu maturalnego z matematyki 2017.

Wróć do spisu artykułów >

Zobacz ofertę studiów w WSB w Twoim mieście:

Powtórz przed maturą materiał z matematyki: wsb.pl/matematyka

키워드에 대한 정보 najważniejsze informacje na mature z matematyki

다음은 Bing에서 najważniejsze informacje na mature z matematyki 주제에 대한 검색 결과입니다. 필요한 경우 더 읽을 수 있습니다.

이 기사는 인터넷의 다양한 출처에서 편집되었습니다. 이 기사가 유용했기를 바랍니다. 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오. 매우 감사합니다!

사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 20 rzeczy które musisz wiedzieć przed maturą MATEMATYKA PODSTAWA 2022

• matematyka
• nauka
• lekcja
• edukacja
• matura
• egzamin
• pewniak
• miesjca
• zerowe
• własności
• dowody
• algebra
• równania
• wymierne
• funkcja
• liniowa
• planimetria
• kwadratowa
• wierzchołek
• postać
• kanoniczna
• iloczynowa
• ogólna
• trójkąt
• wyokość
• sinus
• cosinus
• pitagoras
• pole
• obwód
• stereometria
• prostopadłościan

20 #rzeczy #które #musisz #wiedzieć #przed #maturą #MATEMATYKA #PODSTAWA #2022

---

YouTube에서 najważniejsze informacje na mature z matematyki 주제의 다른 동영상 보기

주제에 대한 기사를 시청해 주셔서 감사합니다 20 rzeczy które musisz wiedzieć przed maturą MATEMATYKA PODSTAWA 2022 | najważniejsze informacje na mature z matematyki, 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오, 매우 감사합니다.