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회귀분석은 AI 관련 수학 개념 중 빠질 수 없는 개념이고, 소개되어있는 책이 아주 많아서 중고등학생들도 자주 접하게 되는 주제입니다.
0:00 회귀분석이란
0:34 회귀분석의 종류
2:00 단순선형회귀분석의 예
3:29 두 변수의 관계를 가장 잘 나타내는 직선?
6:19 직선을 구하면 미래를 예측할 수 있다!
7:10 직선을 구하는 방법 (feat. 최소제곱법)
감사합니다.
**이 영상은 아래 영상의 내용 중 일부를 재구성해서 만든 영상입니다.
AI에 관한 수학 개념
https://youtu.be/ZdQvAhGZ5Yk
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5. 엑셀을 이용한 최소자승법 (Method of Least Squares) 활용
여기서는 가장 간단한 일차함수의 예를 들어 최소자승법의 수학적 개념을 설명하고자 한다. 그리고, 이 개념 및 수식을 활용하여, 엑셀을 사용한 다량의 데이터 처리 …
Source: phylab.yonsei.ac.kr
Date Published: 7/27/2022
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MS Excel 로 최소제곱법을 활용한 직선 그리기
Microsoft Excel 에서 데이터를 활용하여 그래프를 그리고, 최소제곱법을 활용하여 데이터에 대해 가장 맞는 직선을 그리는 방법에 대해 다룹니다.
Source: isaack.dev
Date Published: 10/14/2022
View: 4902
엑셀 최소자승법 정리(쉽다) – 파파톰스의 세상의 모든것
최소자승법을 알려드리려고 합니다. 너무 간단한 방법으로 그냥 따라 하시면 될것 같습니다. 어떤 데이터 간에 함수관계가 …
Source: mohaniww.tistory.com
Date Published: 12/28/2021
View: 5842
3-2. 회귀분석 : 최소제곱법 – 클릭클릭! 엑셀로 이해하는 인공지능
(1)데이터 > 해찾기 실행한 후 ‘해찾기 매개 변수’ 창에서 목표설정에 지정잔차제곱합이 계산된 (3) $L$6 선택합니다. 그리고 지정잔차제곱합이 가장 적은 …
Source: wikidocs.net
Date Published: 6/8/2022
View: 4482
Top 34 최소 자승법 엑셀 Trust The Answer – 1111.com.vn
¿¬¼¼´ëÇб³ ¹°¸®ÇнÇÇè½Ç(Yonsei Phylab) · MS Excel 로 최소제곱법을 활용한 직선 그리기 – Minjae Isaac Kwon · 파파톰스의 세상의 모든것 :: 엑셀 최소 …
Source: toplist.1111.com.vn
Date Published: 3/5/2021
View: 9007
K2Web Wizard – 최소제곱법 일차함수 적용 예제
최소제곱법을 1차함수에 적용하여 기울기와 절편, 그리고 각각의 불확도를 계산하는 MS 엑셀 예제입니다. *데이터를 수정할 때 약간의 문제가 있어 …
Source: gplab.pusan.ac.kr
Date Published: 9/24/2022
View: 1619
LINEST 함수
LINEST 함수는 데이터에 가장 적합한 직선을 구하는 “최소 자승법”을 사용하여 선의 … 이 문서에서는 Microsoft Excel의 LINEST 함수에 사용되는 수식 구문과 이 …
Source: support.microsoft.com
Date Published: 6/26/2022
View: 7788
물리 실험 / 최소 제곱법 / 최소자승법 – ruungji – Tistory
엑셀에서 활용하기. 최소제곱법의 예. 위의 그림에서 그래프 아래에 식이 써있는데 하나씩 무엇을 …
Source: ruungji.tistory.com
Date Published: 4/15/2021
View: 8474
최소자승법 기울기와 절편 – 짭지식
BoBum 님의 블로그입니다. 구독하기. 프로필 사진. 짭지식_Things to take notes/워드&엑셀_Word&Excel의 …
Source: bobum.tistory.com
Date Published: 4/15/2021
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주제에 대한 기사 평가 최소 자승법 엑셀
- Author: 설레는 수학
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- Date Published: 2021. 1. 11.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=LZe94nm1lZg
연세대학교 물리학실험실(Yonsei Phylab)
최소자승법
1. 최소자승법이 필요한 이유?
일반적으로 어떤 실험을 행할 때, 변량 x (독립변수 Independent Variable)를 변경해가며,
그에 따른 실험값 y (종속변수 Dependent Variable)의 쌍 (x,y)을 얻는다.
실험을 N회 반복하여 (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), … (x n ,y n )의 데이터를 확보했다고 하자.
이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 실험은 아무런 의미를 갖지 못한다.
따라서, 데이터들의 유용성을 판단하기 위해서 가장 먼저 해야할 작업은,
두 변수 간에 상관관계가 있는지, 만약 있다면 어떤 상관관계를 갖고 있는지 찾아보는 것이다.
상관관계를 함수로 표현할 수 있다면, “이 실험에서 나온 데이터를 분석했더니 이런 규칙이 있더라.”
라고 말할 수 있으며, 여기서 하나의 공식이 탄생하는 것이다.
최소자승법이란, 이 상관관계를 나타내는 함수 y=f(x)를 찾는 하나의 도구라고 할 수 있다.
2. 최소자승법 (Method of Least Squares) 이란?
N회 측정한 측정값 y 1 ,y 2 ,…,y n 이 어떤 다른 측정값 x 1 ,x 2 ,…x n 의 함수라고 추정할 수 있을 때,
측정값 y i 와 함수값 f(x i )의 차이를 제곱한 것의 합
이렇게 해서 구해진 함수 y=f(x)는 이 측정값들의 관계에 가장 적합한 함수라고 할 수 있다. 이해를 돕기 위해 다음의 그림을 살펴보자.
다음의 그림에서 표시된 각 점들은 측정값 (x i ,y i )이고, 직선 (x i ,f(x i ))은 최소자승법을 사용해 구한, 측정값들의 분포를 가장 잘 나타내는 일차함수이다. 즉, 이 함수는 (측정값-함수값)²의 총합(오차의 총합)이 최소가 되는 직선이라고 할 수 있다.
3. 엑셀 차트를 사용한 최적 함수 구하기
측정된 데이터를 사용하여 그 관계를 나타내는 최적의 함수를 찾는 간단한 방법은,
함수를 찾는 로직을 내장하고 있는 툴을 사용하는 것이다.
일반적으로 널리 사용하고 있는 엑셀 프로그램의 차트 기능을 이용하면 이 함수를 쉽게 구할 수 있다.
일차함수 뿐만 아니라, 2차~5차의 다항식과 거듭제곱, 지수, 로그함수 까지,
내장된 로직을 사용하여 빠르고 쉽게 함수를 표현해준다.
그러나, 함수가 계산되는 과정을 전혀 이해하지 못한 상태에서, 결과만 사용하는 것은 바람직하지 않다.
일단, 차트를 이용한 최적함수 추출 방법에 대한 먼저 간단하게 설명을 하겠지만,
최소자승법을 활용한 유도과정이 어떻게 되는지 뒤에 자세히 설명하였으니 반드시 읽어보도록 하자.
다음은 자유낙하하는 물체를, 특정시간에 속도를 측정하여 기록한 데이터 테이블이다.
이 데이터를 바탕으로 차트를 작성하고, 최적함수를 구해보자.
일단, 실험 데이터를 다음과 같이 Sheet에 입력한 후 해당 데이터 영역을 선택한다.
메뉴의 [삽입]->[차트] 또는 툴바의 를 사용하여 차트마법사를 시작한다.
[표준 종류] 탭에서 분산형 차트를 선택, 차트 하위 종류는 점으로 비교를 선택 후 [마침]을 클릭한다.([다음]을 클릭하여 세부적인 사항을 설정할 수도 있으나, 생략하고 추후 직접 수정하는 것이 편하다.)
아래와 같은 차트가 작성될 것이다.
데이터를 표시한 점 위에 마우스 포인터를 가져간 후 오른쪽 버튼을 클릭하여 추세선 추가를 선택한다.
[종류] 탭에서 선형을 선택하고, [옵션] 탭에서 수식을 차트에 표시 및 R-제곱 값을 차트에 표시를 체크한 후 확인을 누른다.실험 데이터를 사용한 최적 함수가 구해졌다.
그래프의 기울기는 9.8343으로 중력가속도와 거의 일치한다.
y절편이 -38.16이 나온 이유는 실험 시 초기 낙하 속도가 일정하지 않기 때문이다.
R²값은 표시한 함수가 실험 데이터를 얼마나 적합하게 표현하는가 나타내는 상관계수이며,
1 에 가까울수록 최적화된 함수임을 의미한다. R²값은 뒷부분에서 다시 설명할 것이다.
차트를 적절히 가공하여 알아보기 쉽도록 수정한다. (엑셀기초강좌. 차트 참고)
4. 최소자승법의 수학적 이해
1) 최적 함수 y=a+bx 유도
본격적으로 최소자승법을 사용하여 최적의 함수를 유도해보자.
여기서는 가장 간단한 일차함수의 예를 들어 최소자승법의 수학적 개념을 설명하고자 한다.
그리고, 이 개념 및 수식을 활용하여, 엑셀을 사용한 다량의 데이터 처리방법을 익혀보자.
위의 그림에서 각 데이터 좌표에서 최적 함수까지의 거리를 고려해보자.
이 직선이 최적의 함수라면, 이 차이가 가능한 한 최소의 값을 가질 것이다.
최소자승법은 이 편차의 제곱을 최소화하기 위한 방법이다.
(이 편차를 그대로 더하면 양의 값과 음의 값의 합이 되기 때문에 적합한 결과를 얻지 못한다.
또한 절대값을 사용할 경우, 추후 미분계수 계산 시 문제가 발생할 수 있다.)
편차 제곱의 총합 χ²를 오차(Residual)라고 하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.
만약 데이터가 선형적인 관계라면, y true 는 보통 y true =a+bx 로 표현할 수 있고, 오차는 다음과 같다.
여기서, y true =a+bx 는 직선 방정식의 일반적인 형태일 뿐, a와 b는 아직 정의되지 않음에 주의한다.
데이터에 적합한 직선을 찾기 위해서는 이 오차를 최대한 줄여야 한다.
즉, a와 b는 χ²를 최소화하는 값이 되어야 한다.
오차의 제곱(自乘,square)의 총합을 최소화(least)하는 방법(method) 이라의 의미에서
최소자승법(Method of least squares) 의 명칭이 나온 것이다.
간단히 a,b를 구해보도록 하자. (대부분의 통계학 서적에 자세히 설명하고 있으니 참고하도록 한다)
오차를 최소화하기 위한 a,b를 구하기 위해서는, a,b 대해 각각 편미분한 값이 0 이 되면 된다. 즉,
을 만족하는 a,b를 계산하면 최종 결과는 다음과 같다.
2) 변수 x,y,a,b 의 표준편차
독립변수 x 의 평균값을 이용한 표준편차 σ x 의 공식은 다음과 같다.
종속변수 y 에 대한 표준편차 σ y 는 σ x 와는 다소 다르게 계산한다.
종속변수가 독립변수에 따라 선형적으로 변하면, 종속변수의 표준편차는 다음의 식을 따른다.
합계항 앞의 인자 1/(N-1)과 1/(N-2)의 차이에 대한 설명은 통계학 서적을 참고한다.
a,b의 표준편차는 종속변수 σ y 의 표준편차로부터 유도되며, 다음과 같다.
참고) 여기서 말하는 표준편차는 실험 레포트 작성 시 사용하는 표준오차 및 확률오차와 다소 차이가 있으니 주의하도록 한다.
3) r²계산
두 데이터 집합 간의 상관 관계를 조사할 때, 그 관계를 표현하는 함수 뿐만이 아니라, 그 함수가 얼마나 상관관계를 잘 표현하고 있는지 나타내는 기준 이 필요하다.
대부분의 선형 회귀 프로그램에서는 기울기 b 와 y-절편 a 의 적합성을, 단순히 좋고 나쁨이 아닌 r 이라고 하는 상관계수를 사용하여 수치적인 의미로 표현해 준다.
상관계수 r 은 0 과 1 사이의 값을 가진다. 모든 데이터가 직선과 정확히 일치할 경우 r=1 이 된다.
일치하지는 않으나 직선에 근접할 경우 r 은 1 에 가까운 값을 갖는다.
마지막으로 그래프 상의 모든 데이터 좌표가 골고루 분포하여 직선에 근접하지 않으면 r=0 이 된다.
이것은 두 데이터 집합 간에 선형적인 관계가 전혀 없음을 뜻한다.
상관계수 r 값을 구하기 위해, 먼저 모든 y 값의 평균을 계산하자.
그래프 상에서 y 의 평균을 나타내는 직선은 모든 y 값의 중간 정도 높이를 수평으로 지난다.
y 의 평균을 계산하는 이유는, 평균직선이 해당 데이터를 표현할 수 있는 직선 중 최악의 모델이며,
이를 기준으로 다른 직선을 비교평가 하기 위함이다.
실제값과 평균값의 차이를 구한 후 모두 더하면, 평균의 정의에 의해 값이 0 이 된다.
따라서, 이를 해결하기 위해 모든 값을 제곱하여 양수로 만들고 그것을 더한다.
…(4-3-1)
이 값은, 위에서 구한 최적함수가 얼마나 적합한지 비교하는 수단으로 사용할 것이다.
이 값이 작으면 작을수록 모든 데이터가 평균에 근접하는 것을 의미하고,
클 경우 데이터가 넓게 산포되어 있음을 뜻한다.
다음으로, 데이터에 최적의 직선 방정식을 사용하여, 각 x 값에 대응하는 y cal 값을 계산하자
…(4-3-2)
동일한 방법으로 측정값과 직선값의 차이 제곱의 총합을 계산한다.
………(4-3-3)
………(4-3-3)
(4-3-1)과 (4-3-3) 두 식의 단순한 차이가,
그 직선이 데이터들을 표현하기에 얼마나 적합한지 검토하는 방법으로 사용될 수 있다.
두 식을 빼면 다음과 같은 식을 구할 수 있다.
………(4-3-4)
………(4-3-4)
직선 가 평균직선(최악의 모델)만큼 부적합하다면, (4-3-4) 식은 0 이 될 것이다.
………(4-3-5)
………(4-3-5)
직선 가 최적의 직선이라고 하면, 모든 y cal 은 y i 와 동일하여 (4-3-4) 식은 다음과 같다.
………(4-3-6)
………(4-3-6)
(4-3-4)식을 (4-3-1)식으로 나눈 식이 바로 상관계수 r²이다. (이 과정을 Normalize 한다고 한다.)
……….(4-3-7)
……….(4-3-7)
이 값은 당연히 0 에서 1 사이의 범위를 갖는다.
0 에 가까워질수록, 직선이 데이터 분포를 제대로 표현하지 못한다는 것을 뜻하며,
1 에 가까워지면 모든 데이터가 직선에 접근함(데이터를 대표하는 최적의 직선임)을 뜻한다.
시각적인 이해를 위해서 아래의 그림을 참고하면,
(A)는 r=1 이며, (B)는 r 값이 1에 가깝고, (C)는 r 값이 0 에 가까우며, (D)는 r=0 이다.
5. 엑셀을 이용한 최소자승법 (Method of Least Squares) 활용
엑셀을 사용해서 최소자승법을 구할 때 가장 중요한 것은, 아주 잘 정리된 Sheet 이다.
아래의 그림은, 자유낙하하는 물체를 특정시간에 속도를 측정하여 기록한 데이터 테이블을 이용하여,
최소자승법을 사용해서 중력가속도를 계산하는 워크시트이다.
녹색 셀은 측정 데이터를 직접 입력하는 부분이며, 흰색 셀에는 수식이 입력되어 있다.
수식은 위에서 설명한 공식을 엑셀에 적합한 공식으로 변환하여 정리하였으니 표를 참고하도록 한다.
녹색 셀에 측정 데이터를 입력하면, 자동적으로 a (y-절편)과, b (기울기)가 계산되고,
상관계수 r²이 표시될 것이다.
차트를 이용하여 최적함수를 구한 것과 동일한 결과가 나옴을 알 수 있다.
1) 엑셀 워크시트 입력 예
2) 엑셀 수식 정리 – 수식, 함수, 참조, 자동채우기 등의 기능은 엑셀기초강좌를 참고한다.
MS Excel 로 최소제곱법을 활용한 직선 그리기
그 이후 오른쪽에 뜨는 차트 디자인 메뉴를 밑으로 내려보면 “Display Equation on chart (차트에 방정식 표시)” 와 “Display R-square value on chart (차트에 R² 표시)” 가 있습니다. 체크해주면, 그래프에 방정식과 R² (결정계수) 가 표시됩니다. 결정계수가 뭔지는 알아서 찾아보쇼
3-2. 회귀분석 : 최소제곱법
회귀분석은 Wikipedia에서 통계학에서, 회귀 분석(回歸 分析, 영어: regression analysis)은 관찰된 연속형 변수들에 대해 두 변수 사이의 모형을 구한뒤 적합도를 측정해 내는 분석 방법이다. 회귀분석은 시간에 따라 변화하는 데이터나 어떤 영향, 가설적 실험, 인과 관계의 모델링등의 통계적 예측에 이용될 수 있다. 라고 설명하고 있습니다. 출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki/회귀_분석
앞서 3. 지도학습에서 잠깐 나온 예제로 이해해보겠습니다.
면적, 층 데이터로 거래금액을 얼마나 잘 설명할 수 있는지를 수식으로 표현하는 것입니다. 거래금액 = A * 면적 + B * 층 + C 와 같은 수식을 만들어서 지금까지 없었던 새로운 면적과 층 데이터를 입력해도 거래금액을 잘 맞춰보자는 것입니다.(A, B는 가중치, C는 절편이며 상수)
최초 회귀(Regression)이라는 용어는 갈톤이라는 영국 학자가 사용하면서 그 후로 광범위하게 사용되고 있습니다. 통계에서는 주로 우리가 엑셀로 실습할 최소제곱법을 기초로 한 회귀분석을 지칭할 때 사용합니다. 하지만 머신러닝, 딥러닝에서는 더 다양한 형태의 분석이 회귀분석으로 불리기도 합니다.
회귀는 데이터가 어떤 기준(예:평균, 계산식)으로 돌아가려는 경향이 있는 점이 강조된 것으로 이해하면 되겠습니다.
아래에서 엑셀의 분석 기능을 통한 회귀분석과 계산을 통한 검증을 실습하겠습니다.
먼저 회귀분석을 할 데이터를 복사하고, (1)시트 이름을 회귀분석으로 수정합니다. ‘복사본’시트에서 회귀분석에 사용할 거래금액, 전용면적, 층, 년차 열을 복사해서 (2)붙여넣습니다. (3)데이터 > 데이터 분석 ‘통계 데이터 분석’ 창에서 (5)’회귀분석’을 선택하고 ‘확인’버튼을 클릭합니다.
데이터 분석이 보이지 않으면, 1-6. 엑셀 추가기능 활용 내용을 참고하시기 바랍니다.
‘회귀 분석’창에서 Y입력범위를 거래금액열( $A$1:$A$319 )로 지정하고 X입력범위를 전용면적~년차열( $B$1:$D$319 )로 지정합니다. 열 머리글을 포함하여 분석할 것이기 때문에 ‘이름표’를 체크합니다. 분석 결과를 현재 시트에서 볼 수도 있지만, 분리해서 보기 위해 출력 옵션을 ‘새로운 워크시트’로 합니다. 마지막으로 실제값과 회귀식의 계산값 사이의 차이를 볼 수 있도록 ‘잔차’를 체크한 후 ‘확인’ 버튼을 클릭합니다.
일반적으로 엑셀의 회귀분석 결과를 볼 때는 1. 결정계수, 2. 유의한 F값, 각 변수의 P값을 의미있게 봅니다.
(1)결정계수 : 나중에 계산을 해보겠습니다만, 회귀분석 결과가 얼마나 정확한지를 나타내는 수치입니다. 0이상 1이하의 값을 갖게되며, 일반적으로 0.7이상이면 높다고 판단합니다.(분야마다 다름) 단, 변수가 2개 이상인 경우는 ‘조정된 결정계수’가 타당하다고 합니다. 결정계수는 실제값에서 평균을 빼서 제곱합한 거리를 실제값에서 회귀식의 추정값을 빼서 제곱한 거리로 나눈 것입니다.
(2)유의한 F : 분석 결과 전체가 통계적으로 타당한지를 나타내는 수치입니다. 0.05이하면 의미가 있다고 판단합니다.
(3)각 변수의 P : 개별 변수가 통계적으로 타당한지를 나타내는 수치입니다. 0.05이하인 경우만 사용하고, 0.05를 넘는 변수는 제거합니다.
이 경우에는 결정계수도 0.64로 높은 편이고, 유의한 F나 각 변수의 P값도 유의한 결과가 나왔습니다.
이에 따라 회귀식은 각 변수의 (4)계수 부분을 각 변수와 곱한 거래금액(Y) = 962.1507*전용면적 + 2058.152*층 –1925.69*년차 + 36709.51 이 됩니다.
이번에는 회귀분석 결과로 나온 ‘결정계수’가 어떻게 계산된 것인지 공식을 따라 실습하겠습니다.
(1)회귀분석 결과가 표시된 시트의 이름을 ‘회귀분석결과’로 변경합니다. (2)회귀분석결과 시트 아래쪽에 있는 예측 결과값과 잔차를 복사한 후 (3)회귀분석 시트로 이동하여 년차열 오른쪽에 (4)붙여넣기 합니다.
회귀계수를 활용한 회귀식이 회귀분석 결과와 일치하는지 확인하기 위해서 회귀식에 따라 예측값과 오차를 구해봅니다.
회귀식을 실습하기 위해 가장 위에 행을 3개 만들어 둡니다. (1)앞서 구한 회귀식의 각 변수별 계수를 ‘회귀분석결과’ 시트에서 가져옵니다. 잔차 오른쪽 열에 ‘계산금액’열과 ‘계산잔차’열을 만든 다음 계산금액열의 값으로 (2)G5셀에 =$B$2*B5+$C$2*C5+$D$2*D5+$E$2 를 입력합니다. 회귀분석에서 추출한 계수와 실제값을 각각 곱하여 더해준 값을 계산합니다. (3)H5셀에는 이 계산금액값과 실제값의 차이를 구하기 위해 =A5-G5 를 입력합니다.
G5셀과 H5셀을 복사하여 아래 행에도 채워줍니다. 이렇게 계산한 값이 왼쪽에 있는 회귀분석결과 시트의 내용과 같은지 확인합니다.
이번에는 회귀분석의 절차를 확인해보기 위해서 ‘해찾기’ 기능을 활용하여 회귀계수를 찾겠습니다.
앞서 보았던 회귀식의 변수 앞에 붙였던 각 변수별 계수를 회귀분석이 어떻게 찾는 것일까요? 가장 정확한 회귀식은 실제값과 비교했을 때 가장 적은 오차가 발생하는 것이 되겠습니다. 그렇다면, 가장 적은 오차가 발생한다는 것은 어떻게 알 수 있을까요? 실제값과 회귀식의 결과값의 차이가 오차가 됩니다. 그런데 오차는 양수로도 발생할 수 있고, 음수로도 발생할 수 있어서 이 오차를 합하면 계산에 의해 서로 값이 사라지게 됩니다. 이를 방지하기 위해서 오차를 제곱한 다음 이 제곱값을 모두 합한 값을 기준그로 삼게됩니다. 이런 방법을 최소제곱법이라고 합니다.
엑셀로 실습을 하겠습니다.
지정값을 계산하기 위한 행을 하나 추가합니다. 초기에 계수를 찾지 못한 상태를 가정하기 위해 (1)전용면적, 층, 년차의 계수와 절편의 시작값을 동일하게 1,000으로 설정합니다.
각 계수가 1,000인 상태의 금액을 찾기 위해 (2)’지정금액’ 열을 만듭니다. I6셀에 =$B$3*B6+$C$3*C6+$D$3*D6+$E$3 을 입력하고 아래로 채워줍니다. 오른쪽에는 이 지정금액과 실제값이 얼마나 다른지를 계산하는 ‘지정잔차’ 열을 만듭니다. J6셀에 =A6-I6 를 입력하고 아래로 채워줍니다. 최소제곱법 식처럼 오차를 제곱한 값을 합하기 위해 ‘지정잔차’를 제곱하는 ‘지정잔차제곱’열을 만들어줍니다. ‘지정잔차’를 제곱한 값이므로 =J6^2 를 입력하고 아래로 채워줍니다. 마지막으로 ‘지정잔차제곱’열에서 계산한 값을 모두 합해줄 ‘지정잔차제곱의합’셀을 만들고 L6셀에 =SUM(K6:K323) 를 입력합니다.
(1)데이터 > 해찾기 실행한 후 ‘해찾기 매개 변수’ 창에서 목표설정에 지정잔차제곱합이 계산된 (3) $L$6 선택합니다. 그리고 지정잔차제곱합이 가장 적은 값을 찾는 것이므로, (4)대상은 최소로 선택합니다. 값을 바꿔줄 부분인 (5)변수 셀 변경에 전용면적~절편까지의 지정값(현재는 1,000)이 있는 $B$3:$E$3 을 입력합니다. (6)계수는 음수도 나올 수 있기 때문에 제한되지 않는 변수를 음이 아닌 수로 설정은 체크하지 않습니다. (7)마지막으로 해찾기를 실행할 해법을 선택합니다. 기본값인 ‘GRG 비선형’을 사용합니다. (8)해찾기 버튼을 클릭하고 잠깐 기다리면 지정잔차제곱합 셀(L6) 값을 가장 적게 만들어주는 계수를 찾아줍니다.
해찾기가 보이지 않으면, 1-6. 엑셀 추가기능 활용 내용을 참고하시기 바랍니다.
결과를 보면 우리가 회귀분석을 통해 구했던 회귀식을 계수와 오차제곱법을 통해 구한 지정잔차제곱합을 최소로 만드는 지정계수가 유사하게 나타났습니다. 지정값이나 지정잔차도 회귀식을 통해 계산한 것과 동일합니다.
이로써 회귀분석을 통한 결과값, 회귀분석에서 준 계수를 사용한 회귀식을 통한 결과값, 임의의 계수를 지정한 후 오차를 최소화하는 최소제곱법을 계산한 결과값이 모두 동일한 것을 확인하였습니다.
다음에는 회귀분석 결과 중 중요한 값인 ‘결정계수’를 계산하겠습니다.
Top 34 최소 자승법 엑셀 Trust The Answer
회귀분석 쌩기초! 8분만 투자하세요 | 최소제곱법
회귀분석 쌩기초! 8분만 투자하세요 | 최소제곱법
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Article author: phylab.yonsei.ac.kr
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Summary of article content: Articles about ¿¬¼¼´ëÇб³ ¹°¸®ÇнÇÇè½Ç(Yonsei Phylab) 여기서는 가장 간단한 일차함수의 예를 들어 최소자승법의 수학적 개념을 설명하고자 한다. 그리고, 이 개념 및 수식을 활용하여, 엑셀을 사용한 다량의 데이터 처리 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for ¿¬¼¼´ëÇб³ ¹°¸®ÇнÇÇè½Ç(Yonsei Phylab) 여기서는 가장 간단한 일차함수의 예를 들어 최소자승법의 수학적 개념을 설명하고자 한다. 그리고, 이 개념 및 수식을 활용하여, 엑셀을 사용한 다량의 데이터 처리 …
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¿¬¼¼´ëÇб³ ¹°¸®ÇнÇÇè½Ç(Yonsei Phylab)
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MS Excel 로 최소제곱법을 활용한 직선 그리기 – Minjae Isaac Kwon
Article author: isaack.dev
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Summary of article content: Articles about MS Excel 로 최소제곱법을 활용한 직선 그리기 – Minjae Isaac Kwon Microsoft Excel 에서 데이터를 활용하여 그래프를 그리고, 최소제곱법을 활용하여 데이터에 대해 가장 맞는 직선을 그리는 방법에 대해 다룹니다. …
Most searched keywords: Whether you are looking for MS Excel 로 최소제곱법을 활용한 직선 그리기 – Minjae Isaac Kwon Microsoft Excel 에서 데이터를 활용하여 그래프를 그리고, 최소제곱법을 활용하여 데이터에 대해 가장 맞는 직선을 그리는 방법에 대해 다룹니다. Microsoft Excel 에서 데이터를 활용하여 그래프를 그리고, 최소제곱법을 활용하여 데이터에 대해 가장 맞는 직선을 그리는 방법에 대해 다룹니다.
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그래프 그리기
그래프 위에 최소제곱법을 이용한 직선식 그리기
데이터포인트를 설명하는 직선식에서 계수의 정확한 값 불확도 통계량 구하기
그래서 이걸 어디다가 쓰면 되나요
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파파톰스의 세상의 모든것 :: 엑셀 최소자승법 정리(쉽다)
Article author: mohaniww.tistory.com
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Summary of article content: Articles about 파파톰스의 세상의 모든것 :: 엑셀 최소자승법 정리(쉽다) 최소자승법을 알려드리려고 합니다. 너무 간단한 방법으로 그냥 따라 하시면 될것 같습니다. 어떤 데이터 간에 함수관계가 있다고 할때 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for 파파톰스의 세상의 모든것 :: 엑셀 최소자승법 정리(쉽다) 최소자승법을 알려드리려고 합니다. 너무 간단한 방법으로 그냥 따라 하시면 될것 같습니다. 어떤 데이터 간에 함수관계가 있다고 할때 … 안녕하세요, 세상의 모든 것 파파톰스 입니다. 불타는 금요일 다들 즐길 준비 되셨나요? 금요일만 되면 피로감도 없어지고 괜히 힘이 펄펄 나는 느낌이 자주 있습니다. 혹시 저만 그런가요? 여러분들도 그러시죠?..
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파파톰스의 세상의 모든것 :: 엑셀 최소자승법 정리(쉽다)
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엑셀을 이용한 최소자승법 : 네이버 블로그
Article author: m.blog.naver.com
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Summary of article content: Articles about 엑셀을 이용한 최소자승법 : 네이버 블로그 엑셀을 이용한 최소자승법 … 방법은 매우 간단하다. 일단 값이주어진다고 생각해보자. … 이값을 엑셀의 셀의 입력한다. 그뒤에 데이터값을 드레그.. 지정 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for 엑셀을 이용한 최소자승법 : 네이버 블로그 엑셀을 이용한 최소자승법 … 방법은 매우 간단하다. 일단 값이주어진다고 생각해보자. … 이값을 엑셀의 셀의 입력한다. 그뒤에 데이터값을 드레그.. 지정 …
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엑셀을 이용한 최소자승법 : 네이버 블로그
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3-2. 회귀분석 : 최소제곱법 – 클릭클릭! 엑셀로 이해하는 인공지능
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3-2. 회귀분석 : 최소제곱법 – 클릭클릭! 엑셀로 이해하는 인공지능
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최소자승법 기울기와 절편
Article author: bobum.tistory.com
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최소자승법 기울기와 절편
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최소자승법 기울기와 절편
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K2Web Wizard
Article author: gplab.pusan.ac.kr
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K2Web Wizard 최소제곱법을 1차함수에 적용하여 기울기와 절편, 그리고 각각의 불확도를 계산하는 MS 엑셀 예제입니다. *데이터를 수정할 때 약간의 문제가 있어 … …
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K2Web Wizard 최소제곱법을 1차함수에 적용하여 기울기와 절편, 그리고 각각의 불확도를 계산하는 MS 엑셀 예제입니다. *데이터를 수정할 때 약간의 문제가 있어 …
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물리 실험 / 최소 제곱법 / 최소자승법
Article author: ruungji.tistory.com
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Summary of article content: Articles about 물리 실험 / 최소 제곱법 / 최소자승법 엑셀에서 활용하기. 최소제곱법의 예. 위의 그림에서 그래프 아래에 식이 써있는데 하나씩 무엇을 … …
Most searched keywords: Whether you are looking for 물리 실험 / 최소 제곱법 / 최소자승법 엑셀에서 활용하기. 최소제곱법의 예. 위의 그림에서 그래프 아래에 식이 써있는데 하나씩 무엇을 … 최소제곱법이란? 최소제곱법의 정의를 네이버 지식백과의 힘을 빌려 설명하자면.. 형태를 알고 있는 함수를 이용하여서 주어진 자료를 근사할 경우, 함수를 구성하는 계수들의 값을 찾아야하고, 이 계수들의 값에..
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최소제곱법이란
최소제곱법이 필요한 이유
엑셀에서 활용하기
물리 실험 / 최소 제곱법 / 최소자승법
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연세대학교 물리학실험실(Yonsei Phylab)
최소자승법 1. 최소자승법이 필요한 이유? 일반적으로 어떤 실험을 행할 때, 변량 x (독립변수 Independent Variable)를 변경해가며, 그에 따른 실험값 y (종속변수 Dependent Variable)의 쌍 (x,y)을 얻는다. 실험을 N회 반복하여 (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), … (x n ,y n )의 데이터를 확보했다고 하자. 이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 실험은 아무런 의미를 갖지 못한다. 따라서, 데이터들의 유용성을 판단하기 위해서 가장 먼저 해야할 작업은, 두 변수 간에 상관관계가 있는지, 만약 있다면 어떤 상관관계를 갖고 있는지 찾아보는 것이다. 상관관계를 함수로 표현할 수 있다면, “이 실험에서 나온 데이터를 분석했더니 이런 규칙이 있더라.” 라고 말할 수 있으며, 여기서 하나의 공식이 탄생하는 것이다. 최소자승법이란, 이 상관관계를 나타내는 함수 y=f(x)를 찾는 하나의 도구라고 할 수 있다. 2. 최소자승법 (Method of Least Squares) 이란? N회 측정한 측정값 y 1 ,y 2 ,…,y n 이 어떤 다른 측정값 x 1 ,x 2 ,…x n 의 함수라고 추정할 수 있을 때, 측정값 y i 와 함수값 f(x i )의 차이를 제곱한 것의 합 이렇게 해서 구해진 함수 y=f(x)는 이 측정값들의 관계에 가장 적합한 함수라고 할 수 있다. 이해를 돕기 위해 다음의 그림을 살펴보자. 다음의 그림에서 표시된 각 점들은 측정값 (x i ,y i )이고, 직선 (x i ,f(x i ))은 최소자승법을 사용해 구한, 측정값들의 분포를 가장 잘 나타내는 일차함수이다. 즉, 이 함수는 (측정값-함수값)²의 총합(오차의 총합)이 최소가 되는 직선이라고 할 수 있다. 3. 엑셀 차트를 사용한 최적 함수 구하기 측정된 데이터를 사용하여 그 관계를 나타내는 최적의 함수를 찾는 간단한 방법은, 함수를 찾는 로직을 내장하고 있는 툴을 사용하는 것이다. 일반적으로 널리 사용하고 있는 엑셀 프로그램의 차트 기능을 이용하면 이 함수를 쉽게 구할 수 있다. 일차함수 뿐만 아니라, 2차~5차의 다항식과 거듭제곱, 지수, 로그함수 까지, 내장된 로직을 사용하여 빠르고 쉽게 함수를 표현해준다. 그러나, 함수가 계산되는 과정을 전혀 이해하지 못한 상태에서, 결과만 사용하는 것은 바람직하지 않다. 일단, 차트를 이용한 최적함수 추출 방법에 대한 먼저 간단하게 설명을 하겠지만, 최소자승법을 활용한 유도과정이 어떻게 되는지 뒤에 자세히 설명하였으니 반드시 읽어보도록 하자. 다음은 자유낙하하는 물체를, 특정시간에 속도를 측정하여 기록한 데이터 테이블이다. 이 데이터를 바탕으로 차트를 작성하고, 최적함수를 구해보자. 일단, 실험 데이터를 다음과 같이 Sheet에 입력한 후 해당 데이터 영역을 선택한다. 메뉴의 [삽입]->[차트] 또는 툴바의 를 사용하여 차트마법사를 시작한다. [표준 종류] 탭에서 분산형 차트를 선택, 차트 하위 종류는 점으로 비교를 선택 후 [마침]을 클릭한다. ([다음]을 클릭하여 세부적인 사항을 설정할 수도 있으나, 생략하고 추후 직접 수정하는 것이 편하다.) 아래와 같은 차트가 작성될 것이다. 데이터를 표시한 점 위에 마우스 포인터를 가져간 후 오른쪽 버튼을 클릭하여 추세선 추가를 선택한다. [종류] 탭에서 선형을 선택하고, [옵션] 탭에서 수식을 차트에 표시 및 R-제곱 값을 차트에 표시를 체크한 후 확인을 누른다. 실험 데이터를 사용한 최적 함수가 구해졌다. 그래프의 기울기는 9.8343으로 중력가속도와 거의 일치한다. y절편이 -38.16이 나온 이유는 실험 시 초기 낙하 속도가 일정하지 않기 때문이다. R²값은 표시한 함수가 실험 데이터를 얼마나 적합하게 표현하는가 나타내는 상관계수이며, 1 에 가까울수록 최적화된 함수임을 의미한다. R²값은 뒷부분에서 다시 설명할 것이다. 차트를 적절히 가공하여 알아보기 쉽도록 수정한다. (엑셀기초강좌. 차트 참고) 4. 최소자승법의 수학적 이해 1) 최적 함수 y=a+bx 유도 본격적으로 최소자승법을 사용하여 최적의 함수를 유도해보자. 여기서는 가장 간단한 일차함수의 예를 들어 최소자승법의 수학적 개념을 설명하고자 한다. 그리고, 이 개념 및 수식을 활용하여, 엑셀을 사용한 다량의 데이터 처리방법을 익혀보자. 위의 그림에서 각 데이터 좌표에서 최적 함수까지의 거리를 고려해보자. 이 직선이 최적의 함수라면, 이 차이가 가능한 한 최소의 값을 가질 것이다. 최소자승법은 이 편차의 제곱을 최소화하기 위한 방법이다. (이 편차를 그대로 더하면 양의 값과 음의 값의 합이 되기 때문에 적합한 결과를 얻지 못한다. 또한 절대값을 사용할 경우, 추후 미분계수 계산 시 문제가 발생할 수 있다.) 편차 제곱의 총합 χ²를 오차(Residual)라고 하며, 다음과 같이 표현할 수 있다. 만약 데이터가 선형적인 관계라면, y true 는 보통 y true =a+bx 로 표현할 수 있고, 오차는 다음과 같다. 여기서, y true =a+bx 는 직선 방정식의 일반적인 형태일 뿐, a와 b는 아직 정의되지 않음에 주의한다. 데이터에 적합한 직선을 찾기 위해서는 이 오차를 최대한 줄여야 한다. 즉, a와 b는 χ²를 최소화하는 값이 되어야 한다. 오차의 제곱(自乘,square)의 총합을 최소화(least)하는 방법(method) 이라의 의미에서 최소자승법(Method of least squares) 의 명칭이 나온 것이다. 간단히 a,b를 구해보도록 하자. (대부분의 통계학 서적에 자세히 설명하고 있으니 참고하도록 한다) 오차를 최소화하기 위한 a,b를 구하기 위해서는, a,b 대해 각각 편미분한 값이 0 이 되면 된다. 즉, 을 만족하는 a,b를 계산하면 최종 결과는 다음과 같다. 2) 변수 x,y,a,b 의 표준편차 독립변수 x 의 평균값을 이용한 표준편차 σ x 의 공식은 다음과 같다. 종속변수 y 에 대한 표준편차 σ y 는 σ x 와는 다소 다르게 계산한다. 종속변수가 독립변수에 따라 선형적으로 변하면, 종속변수의 표준편차는 다음의 식을 따른다. 합계항 앞의 인자 1/(N-1)과 1/(N-2)의 차이에 대한 설명은 통계학 서적을 참고한다. a,b의 표준편차는 종속변수 σ y 의 표준편차로부터 유도되며, 다음과 같다. 참고) 여기서 말하는 표준편차는 실험 레포트 작성 시 사용하는 표준오차 및 확률오차와 다소 차이가 있으니 주의하도록 한다. 3) r²계산 두 데이터 집합 간의 상관 관계를 조사할 때, 그 관계를 표현하는 함수 뿐만이 아니라, 그 함수가 얼마나 상관관계를 잘 표현하고 있는지 나타내는 기준 이 필요하다. 대부분의 선형 회귀 프로그램에서는 기울기 b 와 y-절편 a 의 적합성을, 단순히 좋고 나쁨이 아닌 r 이라고 하는 상관계수를 사용하여 수치적인 의미로 표현해 준다. 상관계수 r 은 0 과 1 사이의 값을 가진다. 모든 데이터가 직선과 정확히 일치할 경우 r=1 이 된다. 일치하지는 않으나 직선에 근접할 경우 r 은 1 에 가까운 값을 갖는다. 마지막으로 그래프 상의 모든 데이터 좌표가 골고루 분포하여 직선에 근접하지 않으면 r=0 이 된다. 이것은 두 데이터 집합 간에 선형적인 관계가 전혀 없음을 뜻한다. 상관계수 r 값을 구하기 위해, 먼저 모든 y 값의 평균을 계산하자. 그래프 상에서 y 의 평균을 나타내는 직선은 모든 y 값의 중간 정도 높이를 수평으로 지난다. y 의 평균을 계산하는 이유는, 평균직선이 해당 데이터를 표현할 수 있는 직선 중 최악의 모델이며, 이를 기준으로 다른 직선을 비교평가 하기 위함이다. 실제값과 평균값의 차이를 구한 후 모두 더하면, 평균의 정의에 의해 값이 0 이 된다. 따라서, 이를 해결하기 위해 모든 값을 제곱하여 양수로 만들고 그것을 더한다. …(4-3-1) 이 값은, 위에서 구한 최적함수가 얼마나 적합한지 비교하는 수단으로 사용할 것이다. 이 값이 작으면 작을수록 모든 데이터가 평균에 근접하는 것을 의미하고, 클 경우 데이터가 넓게 산포되어 있음을 뜻한다. 다음으로, 데이터에 최적의 직선 방정식을 사용하여, 각 x 값에 대응하는 y cal 값을 계산하자 …(4-3-2) 동일한 방법으로 측정값과 직선값의 차이 제곱의 총합을 계산한다. ………(4-3-3) ………(4-3-3) (4-3-1)과 (4-3-3) 두 식의 단순한 차이가, 그 직선이 데이터들을 표현하기에 얼마나 적합한지 검토하는 방법으로 사용될 수 있다. 두 식을 빼면 다음과 같은 식을 구할 수 있다. ………(4-3-4) ………(4-3-4) 직선 가 평균직선(최악의 모델)만큼 부적합하다면, (4-3-4) 식은 0 이 될 것이다. ………(4-3-5) ………(4-3-5) 직선 가 최적의 직선이라고 하면, 모든 y cal 은 y i 와 동일하여 (4-3-4) 식은 다음과 같다. ………(4-3-6) ………(4-3-6) (4-3-4)식을 (4-3-1)식으로 나눈 식이 바로 상관계수 r²이다. (이 과정을 Normalize 한다고 한다.) ……….(4-3-7) ……….(4-3-7) 이 값은 당연히 0 에서 1 사이의 범위를 갖는다. 0 에 가까워질수록, 직선이 데이터 분포를 제대로 표현하지 못한다는 것을 뜻하며, 1 에 가까워지면 모든 데이터가 직선에 접근함(데이터를 대표하는 최적의 직선임)을 뜻한다. 시각적인 이해를 위해서 아래의 그림을 참고하면, (A)는 r=1 이며, (B)는 r 값이 1에 가깝고, (C)는 r 값이 0 에 가까우며, (D)는 r=0 이다. 5. 엑셀을 이용한 최소자승법 (Method of Least Squares) 활용 엑셀을 사용해서 최소자승법을 구할 때 가장 중요한 것은, 아주 잘 정리된 Sheet 이다. 아래의 그림은, 자유낙하하는 물체를 특정시간에 속도를 측정하여 기록한 데이터 테이블을 이용하여, 최소자승법을 사용해서 중력가속도를 계산하는 워크시트이다. 녹색 셀은 측정 데이터를 직접 입력하는 부분이며, 흰색 셀에는 수식이 입력되어 있다. 수식은 위에서 설명한 공식을 엑셀에 적합한 공식으로 변환하여 정리하였으니 표를 참고하도록 한다. 녹색 셀에 측정 데이터를 입력하면, 자동적으로 a (y-절편)과, b (기울기)가 계산되고, 상관계수 r²이 표시될 것이다. 차트를 이용하여 최적함수를 구한 것과 동일한 결과가 나옴을 알 수 있다. 1) 엑셀 워크시트 입력 예 2) 엑셀 수식 정리 – 수식, 함수, 참조, 자동채우기 등의 기능은 엑셀기초강좌를 참고한다.
3-2. 회귀분석 : 최소제곱법
회귀분석은 Wikipedia에서 통계학에서, 회귀 분석(回歸 分析, 영어: regression analysis)은 관찰된 연속형 변수들에 대해 두 변수 사이의 모형을 구한뒤 적합도를 측정해 내는 분석 방법이다. 회귀분석은 시간에 따라 변화하는 데이터나 어떤 영향, 가설적 실험, 인과 관계의 모델링등의 통계적 예측에 이용될 수 있다. 라고 설명하고 있습니다. 출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki/회귀_분석 앞서 3. 지도학습에서 잠깐 나온 예제로 이해해보겠습니다. 면적, 층 데이터로 거래금액을 얼마나 잘 설명할 수 있는지를 수식으로 표현하는 것입니다. 거래금액 = A * 면적 + B * 층 + C 와 같은 수식을 만들어서 지금까지 없었던 새로운 면적과 층 데이터를 입력해도 거래금액을 잘 맞춰보자는 것입니다.(A, B는 가중치, C는 절편이며 상수) 최초 회귀(Regression)이라는 용어는 갈톤이라는 영국 학자가 사용하면서 그 후로 광범위하게 사용되고 있습니다. 통계에서는 주로 우리가 엑셀로 실습할 최소제곱법을 기초로 한 회귀분석을 지칭할 때 사용합니다. 하지만 머신러닝, 딥러닝에서는 더 다양한 형태의 분석이 회귀분석으로 불리기도 합니다. 회귀는 데이터가 어떤 기준(예:평균, 계산식)으로 돌아가려는 경향이 있는 점이 강조된 것으로 이해하면 되겠습니다. 아래에서 엑셀의 분석 기능을 통한 회귀분석과 계산을 통한 검증을 실습하겠습니다. 먼저 회귀분석을 할 데이터를 복사하고, (1)시트 이름을 회귀분석으로 수정합니다. ‘복사본’시트에서 회귀분석에 사용할 거래금액, 전용면적, 층, 년차 열을 복사해서 (2)붙여넣습니다. (3)데이터 > 데이터 분석 ‘통계 데이터 분석’ 창에서 (5)’회귀분석’을 선택하고 ‘확인’버튼을 클릭합니다. 데이터 분석이 보이지 않으면, 1-6. 엑셀 추가기능 활용 내용을 참고하시기 바랍니다. ‘회귀 분석’창에서 Y입력범위를 거래금액열( $A$1:$A$319 )로 지정하고 X입력범위를 전용면적~년차열( $B$1:$D$319 )로 지정합니다. 열 머리글을 포함하여 분석할 것이기 때문에 ‘이름표’를 체크합니다. 분석 결과를 현재 시트에서 볼 수도 있지만, 분리해서 보기 위해 출력 옵션을 ‘새로운 워크시트’로 합니다. 마지막으로 실제값과 회귀식의 계산값 사이의 차이를 볼 수 있도록 ‘잔차’를 체크한 후 ‘확인’ 버튼을 클릭합니다. 일반적으로 엑셀의 회귀분석 결과를 볼 때는 1. 결정계수, 2. 유의한 F값, 각 변수의 P값을 의미있게 봅니다. (1)결정계수 : 나중에 계산을 해보겠습니다만, 회귀분석 결과가 얼마나 정확한지를 나타내는 수치입니다. 0이상 1이하의 값을 갖게되며, 일반적으로 0.7이상이면 높다고 판단합니다.(분야마다 다름) 단, 변수가 2개 이상인 경우는 ‘조정된 결정계수’가 타당하다고 합니다. 결정계수는 실제값에서 평균을 빼서 제곱합한 거리를 실제값에서 회귀식의 추정값을 빼서 제곱한 거리로 나눈 것입니다. (2)유의한 F : 분석 결과 전체가 통계적으로 타당한지를 나타내는 수치입니다. 0.05이하면 의미가 있다고 판단합니다. (3)각 변수의 P : 개별 변수가 통계적으로 타당한지를 나타내는 수치입니다. 0.05이하인 경우만 사용하고, 0.05를 넘는 변수는 제거합니다. 이 경우에는 결정계수도 0.64로 높은 편이고, 유의한 F나 각 변수의 P값도 유의한 결과가 나왔습니다. 이에 따라 회귀식은 각 변수의 (4)계수 부분을 각 변수와 곱한 거래금액(Y) = 962.1507*전용면적 + 2058.152*층 –1925.69*년차 + 36709.51 이 됩니다. 이번에는 회귀분석 결과로 나온 ‘결정계수’가 어떻게 계산된 것인지 공식을 따라 실습하겠습니다. (1)회귀분석 결과가 표시된 시트의 이름을 ‘회귀분석결과’로 변경합니다. (2)회귀분석결과 시트 아래쪽에 있는 예측 결과값과 잔차를 복사한 후 (3)회귀분석 시트로 이동하여 년차열 오른쪽에 (4)붙여넣기 합니다. 회귀계수를 활용한 회귀식이 회귀분석 결과와 일치하는지 확인하기 위해서 회귀식에 따라 예측값과 오차를 구해봅니다. 회귀식을 실습하기 위해 가장 위에 행을 3개 만들어 둡니다. (1)앞서 구한 회귀식의 각 변수별 계수를 ‘회귀분석결과’ 시트에서 가져옵니다. 잔차 오른쪽 열에 ‘계산금액’열과 ‘계산잔차’열을 만든 다음 계산금액열의 값으로 (2)G5셀에 =$B$2*B5+$C$2*C5+$D$2*D5+$E$2 를 입력합니다. 회귀분석에서 추출한 계수와 실제값을 각각 곱하여 더해준 값을 계산합니다. (3)H5셀에는 이 계산금액값과 실제값의 차이를 구하기 위해 =A5-G5 를 입력합니다. G5셀과 H5셀을 복사하여 아래 행에도 채워줍니다. 이렇게 계산한 값이 왼쪽에 있는 회귀분석결과 시트의 내용과 같은지 확인합니다. 이번에는 회귀분석의 절차를 확인해보기 위해서 ‘해찾기’ 기능을 활용하여 회귀계수를 찾겠습니다. 앞서 보았던 회귀식의 변수 앞에 붙였던 각 변수별 계수를 회귀분석이 어떻게 찾는 것일까요? 가장 정확한 회귀식은 실제값과 비교했을 때 가장 적은 오차가 발생하는 것이 되겠습니다. 그렇다면, 가장 적은 오차가 발생한다는 것은 어떻게 알 수 있을까요? 실제값과 회귀식의 결과값의 차이가 오차가 됩니다. 그런데 오차는 양수로도 발생할 수 있고, 음수로도 발생할 수 있어서 이 오차를 합하면 계산에 의해 서로 값이 사라지게 됩니다. 이를 방지하기 위해서 오차를 제곱한 다음 이 제곱값을 모두 합한 값을 기준그로 삼게됩니다. 이런 방법을 최소제곱법이라고 합니다. 엑셀로 실습을 하겠습니다. 지정값을 계산하기 위한 행을 하나 추가합니다. 초기에 계수를 찾지 못한 상태를 가정하기 위해 (1)전용면적, 층, 년차의 계수와 절편의 시작값을 동일하게 1,000으로 설정합니다. 각 계수가 1,000인 상태의 금액을 찾기 위해 (2)’지정금액’ 열을 만듭니다. I6셀에 =$B$3*B6+$C$3*C6+$D$3*D6+$E$3 을 입력하고 아래로 채워줍니다. 오른쪽에는 이 지정금액과 실제값이 얼마나 다른지를 계산하는 ‘지정잔차’ 열을 만듭니다. J6셀에 =A6-I6 를 입력하고 아래로 채워줍니다. 최소제곱법 식처럼 오차를 제곱한 값을 합하기 위해 ‘지정잔차’를 제곱하는 ‘지정잔차제곱’열을 만들어줍니다. ‘지정잔차’를 제곱한 값이므로 =J6^2 를 입력하고 아래로 채워줍니다. 마지막으로 ‘지정잔차제곱’열에서 계산한 값을 모두 합해줄 ‘지정잔차제곱의합’셀을 만들고 L6셀에 =SUM(K6:K323) 를 입력합니다. (1)데이터 > 해찾기 실행한 후 ‘해찾기 매개 변수’ 창에서 목표설정에 지정잔차제곱합이 계산된 (3) $L$6 선택합니다. 그리고 지정잔차제곱합이 가장 적은 값을 찾는 것이므로, (4)대상은 최소로 선택합니다. 값을 바꿔줄 부분인 (5)변수 셀 변경에 전용면적~절편까지의 지정값(현재는 1,000)이 있는 $B$3:$E$3 을 입력합니다. (6)계수는 음수도 나올 수 있기 때문에 제한되지 않는 변수를 음이 아닌 수로 설정은 체크하지 않습니다. (7)마지막으로 해찾기를 실행할 해법을 선택합니다. 기본값인 ‘GRG 비선형’을 사용합니다. (8)해찾기 버튼을 클릭하고 잠깐 기다리면 지정잔차제곱합 셀(L6) 값을 가장 적게 만들어주는 계수를 찾아줍니다. 해찾기가 보이지 않으면, 1-6. 엑셀 추가기능 활용 내용을 참고하시기 바랍니다. 결과를 보면 우리가 회귀분석을 통해 구했던 회귀식을 계수와 오차제곱법을 통해 구한 지정잔차제곱합을 최소로 만드는 지정계수가 유사하게 나타났습니다. 지정값이나 지정잔차도 회귀식을 통해 계산한 것과 동일합니다. 이로써 회귀분석을 통한 결과값, 회귀분석에서 준 계수를 사용한 회귀식을 통한 결과값, 임의의 계수를 지정한 후 오차를 최소화하는 최소제곱법을 계산한 결과값이 모두 동일한 것을 확인하였습니다. 다음에는 회귀분석 결과 중 중요한 값인 ‘결정계수’를 계산하겠습니다.
Excel 해 찾기 기능을 이용한 최소제곱법 교수-학습자료 개발
모델링 분석 기법은 물리적 법칙과 상수의 형성과정을 이해하는데 중요한 과정이다. 모델링 분석에는 최소제곱법이 적용되는데, 교육과정상의 이유로 최소제곱법을 중등학교급 학생들에게 가르치는 데에 어려움이 있다. 하지만 최근에는 컴퓨터의 보급과 소프트웨어의 발달로 이 문제를 해결할 수 있게 되었다. 이에 컴퓨터를 이용한 최소제곱법을 중등학교에 적용할 수 있는 교육자료를 만들어 보고자 Excel의 해찾기 기능과 함수로 최소제곱법을 적용하여 허블의 데이터로부터 허블 법칙과 허블 상수를 도출하여 보았다. 도출한 상수 값을 Soares and Paulo(2014)가 구한 값과 비교를 해 본 결과 원점을 지나는 함수 모델에서는 허블 상수 값이 거의 동일하게 도출되었다. Excel의 추세선 기능과 Logger Pro 프로그램의 선 추세선 기능을 이용한 모델링 과정을 해찾기 기능을 이용한 방법과 비교해 보기도 하였다. 모델 함수 및 상수를 얻어내는 데에는 해찾기 기능을 이용한 경우보다 추세선 기능을 이용한 부분이 더 쉽지만, 최소제곱법의 대한 이해와 모델함수의 타당성 판단을 위한 추가 계산을 하는 데에는 Excel 해찾기와 함수를 이용한 방법이 더욱 적합하였다. The modelling analysis technique is an important process for understanding the formation of physical laws and constants. For the modelling analysis it is needed to apply the method of least squares, which is not covered in secondary school curriculum of Korea, and so it is difficult that secondary students in Korea understand the formation of physical laws and constants. Recently, however, supply of computers and development of softwares make it possible for them to solve this problem. In this study, in order to create learning resources enabling secondary students to understand and utilize the method of least squares, we used the Excel solver and function to derive Hubble’s law and constant from hubble’s data by the method of least squares. And we compared the obtained values with Soares and Vaz(2014)’s ones. The result of the comparison was that the values of Hubble’s constant in the function model of this study which pass through the orign of the coordinate axes were almost equal to Soares and Vaz(2014)’s values in their paper. We also compared the method using the Excel solver and function with the method using the tendency line of excel and Logger Pro software. The latter method was easier to obtain the model function and constants than the former one. However, for understanding the method of least squares and carrying out additional calculation for validity of the model function, the method using the Excel solver is more effective than he method using the tendency line of excel and Logger Pro software.
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최소제곱법을 1차함수에 적용하여 기울기와 절편, 그리고 각각의 불확도를 계산하는 MS 엑셀 예제입니다.
*데이터를 수정할 때 약간의 문제가 있어 2019/3/28에 수정 하였습니다.
LINEST 함수
모든 직선을 기울기와 y 절편으로 설명할 수 있습니다. 경사(m):
종종 m로 작성된 선의 기울기 를 찾으면 선(x1,y1)과 (x2,y2)의 두 지점을 취합니다. 기울기(y2 – y1)/(x2 – x1)와 동일합니다. Y-가로채기(b):
b로 자주 쓰이는 선의 y 가로채기 값은 선이 y축을 교차하는 지점의 y 값입니다. 직선의 방정식은 y = mx + b입니다. m과 b의 값을 알고 있다면 x 값 또는 y 값을 방정식에 대입하여 직선의 모든 점을 계산할 수 있습니다. 또한 TREND 함수를 사용할 수도 있습니다.
독립 변수 x가 하나뿐인 경우 다음 수식을 사용하여 기울기와 y 절편을 직접 구할 수 있습니다. 경사:
=INDEX(LINEST(known_y’s,known_x’s),1) Y-가로채기:
=INDEX(LINEST(known_y,known_x)2)
LINEST 함수에 의해 계산된 회귀 직선의 정확도는 데이터의 분산 정도에 따라 결정됩니다. 데이터가 선형일수록 LINEST 모델은 더 정확해 집니다. LINEST는 데이터에 가장 적합한 회귀 직선을 결정하기 위하여 최소 자승법을 사용합니다. 독립 변수 x의 값을 하나만 갖고 있다면 m과 b의 계산식은 다음과 같습니다. 여기에서 x와 y는 표본 평균, 즉 x = AVERAGE(known x’s), y = AVERAGE(known_y’s)입니다.
LineST 및 curve-fit 함수 LINEST 및 LOGEST는 데이터에 맞는 최상의 직선 또는 지수 곡선을 계산할 수 있습니다. 그러나 두 결과 중 어느 것이 데이터에 가장 적합한지 결정해야 합니다. 지수 곡선의 경우 TREND(known_y,known_x)를 계산하거나, known_y(known_y )를known_x 계산할 수 있습니다. 이러한 함수는 new_x 인수 없이 해당 선 또는 곡선을 따라 예측된 y 값 배열을 실제 데이터 지점에서 반환합니다. 그런 다음 예측된 값을 실제 값과 비교할 수 있습니다. 시각적 비교를 위해 둘 다 차트를 차트화할 수 있습니다.
회귀 분석에서 Excel y-value와 해당 실제 y-value 사이의 제곱된 차이를 각 지점에 대해 계산합니다. 이러한 제곱된 차이의 합계를 제곱의 잔차 합계인 ssresid라고 합니다. Excel 정사각형, sstotal의 합계를 계산합니다. const 인수 = TRUE 또는 생략하면 제곱의 총합은 실제 y-값과 y-값의 평균 사이의 제곱된 차이의 합계입니다. const 인수 = FALSE인 경우 제곱의 총합은 실제 y-값의 제곱의 합계입니다(각 개별 y-값에서 평균 y-값을 빼지 않고). 그런 다음 ssreg = sstotal – ssresid: 사각형의 회귀 합계를 찾을 수 있습니다. 제곱의 잔차 합이 작을수록 제곱의 합계가 클수록 측정 계수 값인 r2가수록 회귀 분석에서 발생하는 수식이 변수 간의 관계를 얼마나 잘 설명하는지 나타내는 지표입니다. r2의 값은 ssreg/sstotal과 동일합니다.
경우에 따라 하나 이상의 X 열(Y 및 X가 열에 있는 것으로 가정)에는 다른 X 열이 있는 경우 추가 예측 값이 있을 수 있습니다. 즉, 하나 이상의 X 열을 제거하면 똑같이 정확한 예측된 Y 값이 발생할 수 있습니다. 이 경우 이러한 중복 X 열은 회귀 모델에서 생략해야 합니다. 중복 X 열이 중복되지 않은 X 열의 배수로 표현될 수 있기 때문에 이 현상을 “collinearity”라고 합니다. LINEST 함수는 공선성을 검사하고 이를 식별할 때 회귀 모델에서 중복 X 열을 제거합니다. 제거된 X 열은 LINEST 출력에서 0 se 값 외에 계수 0을 갖는 것으로 인식할 수 있습니다. 하나 이상의 열이 중복으로 제거되는 경우 df는 예측 목적으로 실제로 사용되는 X 열 수에 따라 달라지기 때문에 df가 영향을 받는다. df 계산에 대한 자세한 내용은 예제 4 를 참조합니다. 중복 X 열이 제거되어 df가 변경되면 sey 및 F 값도 영향을 받는다. 공선성은 실제로 비교적 드물게 해야 합니다. 그러나 일부 X 열에 실험의 주체가 특정 그룹의 구성원인지 여부를 나타내는 지표로 0과 1 값만 포함하는 경우가 발생할 가능성이 높은 경우입니다. const = TRUE 또는 생략된 경우 LINEST 함수는 1개 값의 추가 X 열을 효과적으로 삽입하여 가로채기 모델링합니다. 각 주제에 대해 1이 있는 열이 있는 경우 또는 그렇지 않은 경우 각 주제에 대해 1이 있는 열이 있는 경우, 또는 그렇지 않은 경우 0인 경우 이 열이 중복되는 경우, 이 열의 항목은 LINEST 함수에 의해 추가된 모든 값의 추가 열의 항목에서 “남성 표시기” 열의 항목을 빼는 것에서 얻을 수 있기 때문에 중복됩니다.
공선성으로 인해 모델에서 제거되는 X 열이 하나도 없을 때 df의 값은 다음과 같이 계산됩니다. const = FALSE인 경우 df = n – k입니다. 두 경우 모두 공선성으로 인해 제거된 X 열 하나에 대해 df가 1씩 증가합니다.
known_x’s 와 같은 배열 상수를 인수로 입력할 때는 쉼표를 사용하여 같은 행에 있는 값을 구분하고 세미콜론을 사용하여 행을 구분합니다. 구분 기호는 국가별 설정에 따라 다를 수 있습니다.
회귀 방정식으로 예측한 y 값이 방정식 결정에 사용한 범위 밖에 있을 때는 그 값이 유효하지 않을 수도 있습니다.
LINEST 함수에 사용되는 기본 알고리즘은 SLOPE 및 INTERCEPT 함수에 사용되는 기본 알고리즘과 다릅니다. 이러한 알고리즘의 차이로 인해 데이터가 확정적이지 않고 동일한 선 위에 있는 경우 서로 다른 결과가 반환될 수 있습니다. 예를 들어 known_y’s 인수의 데이터 요소가 0이고 known_x’s 인수의 데이터 요소가 1인 경우 LINEST 가 값 0을 반환합니다. LINEST 함수의 알고리즘은 공선 데이터에 대해 적당한 결과를 반환하도록 디자인되었으므로 이 경우 답을 하나 이상 찾을 수 있습니다.
SLOPE 및 INTERCEPT가 #DIV/0! 오류를 반환합니다. SLOPE 및 INTERCEPT 함수 알고리즘은 오직 하나의 답만 찾도록 디자인되어 있지만 이 경우 답이 여러 개일 수 있기 때문입니다.
LOGEST를 사용하여 다른 회귀 유형에 대한 통계를 구하는 것 외에도 LINEST를 통해 x 및 y 변수의 함수를 LINEST에 대한 x 및 y 계열로 입력하여 다른 회귀 유형의 범위를 계산할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같은 수식이 있다고 가정해 봅니다. =LINEST(y 값, x 값^COLUMN($A:$C)) 위의 수식은 다음 3차식(차수가 3인 다항식) 근사값을 구할 y 값으로 된 열과 x 값으로 된 열이 하나씩 있을 때 올바르게 계산됩니다. y = m1*x + m2*x^2 + m3*x^3 + b 이 수식을 조정하여 다른 유형의 회귀를 계산할 수 있지만 경우에 따라 출력 값과 다른 통계를 조정해야 할 수도 있습니다.
최소 제곱법
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최소제곱법이란?
최소제곱법의 예
최소제곱법의 정의를 네이버 지식백과의 힘을 빌려 설명하자면..
형태를 알고 있는 함수를 이용하여서 주어진 자료를 근사할 경우, 함수를 구성하는 계수들의 값을 찾아야하고, 이 계수들의 값에 따라 달라지는 자료와 함수값 사이의 차이의 제곱값을 최소로 만들도록 계수를 정하는 방안을 최소제곱법이라 부른다. [네이버 지식백과] 최소제곱법 [Least square method] (기상학백과)
쉽게 말해 함수로 표현될 수 없는 불규칙한 값들 사이에서,
그나마 제일 표준이라고 할 수 있는 함수를 계산하는 것이다.
y = ax + b 는 표준적인 함수를 뜻하고,
R^2는 얼마나 값을 이용하여 상관관계를 잘 표현했는지 보여주는 값(상관계수)이다.
최소제곱법이 필요한 이유
실험에 있어 변량 x 와 변량 y를 가지고 실험을 반복하였을 때, 규칙성을 찾을 수 있는지, 있다면 얼마나 상관관계를 갖고 있는지 눈으로 확인할 수 있기에 유용하게 쓸 수 있는 법칙이라 할 수 있다.
더 자세한 증명이나 이유 등은 다른 블로그에 더 정확하고 신뢰있게 포스팅하였다.
엑셀에서 활용하기
최소제곱법의 예
위의 그림에서 그래프 아래에 식이 써있는데 하나씩 무엇을 뜻하는지 보자.
y = ax + b, R^2
a는 기울기로 함수 =SLOPE( known\_y’s, known\_x’s ) 를 사용하여 표현할 수 있다.
b는 y절편으로 =INTERCEPT( known\_y’s,known\_x’s ) 를 사용한다.
R은 알아서 계산해주지만 수식을 사용하자면 =CORREL( array1, array2 ) 이다.
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키워드에 대한 정보 최소 자승법 엑셀
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