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이 세점으로 만들어지는 평면에 법선벡터 구하기. 벡터 PQ 와 벡터 PR 에 공통으로 수직한 벡터입니다. 따라서 벡터 PQ와 벡터 PR 의 외적(크로스곱)을 구하면 됩니다.
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평면의 방정식 – 네이버 블로그
다음과 같이 구할수 있습니다. 주어진 평면의 법선벡터를 이라 하면. 은 와 수직이고 와 수직입니다. 즉, 동시에 수직이죠. 따라서. 입니다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 5/30/2021
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Date Published: 12/7/2022
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Date Published: 7/7/2021
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[벡터 미적분학] 평면의 방정식(Equations of Planes)
평면과 직교하는 법선 벡터(normal vector) n = Ai + Bj + Ck가 주어진 경. … vector는 평면상의 두 벡터사이에 외적을 적용하여 구할 수 있습니다.
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주제에 대한 기사 평가 법선 벡터 구하기
- Author: 수악중독
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- Date Published: 2019. 3. 31.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=Gn7EFVw213s
세점으로 만들어지는 평면에 법선벡터 구하기(외적 구하기)
p(0,0,0), Q(2,4,6), R(-1,2,7)
이 세점으로 만들어지는 평면에 법선벡터 구하기.
P(0,0,0), Q(2,4,6), R(-1,2,7)에서 평면 PQR 의 법선벡터는
벡터 PQ 와 벡터 PR 에 공통으로 수직한 벡터입니다.
따라서 벡터 PQ와 벡터 PR 의 외적(크로스곱)을 구하면 됩니다.
벡터 PQ = Q – P = (2,4,6) – (0,0,0) = (2,4,6)
벡터 PR = R – P = (-1,2,7) – (0,0,0) = (-1,2,7)
(벡터 PQ) × (벡터 PR)
= (2,4,6) × (-1,2,7)
= (4 * 7 – 6 * 2)i – {2 * 7 – 6 * (-1)}j + {2 * 2 – 4 * (-1)}k
= 16i – 20j + 8k
= (16, -20, 8)
따라서 주어진 평면에 법선벡터는 (16, -20, 8) 입니다. 간단히 나타내려면 4를 나누어
(4, -5, 2) 라고 해도 무방합니다. (벡터의 실수배는 평행한 벡터이므로)
외적 구하는 법
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평면의 방정식
공간에서 직선을 방정식으로 표현할수 있듯이
평면도 방정식으로 표현할수 있습니다.
위 그림에서 두 점 은 평면 위의 점이고
이고
은 평면 p와 수직인 벡터입니다.
여기서 을 법선벡터(Normal Vector) 라고 부릅니다.
이 평면 p와 수직이므로 와 도 수직입니다.
따라서 입니다.
그러므로 평면의 벡터방정식은 입니다.
－평면의 벡터방정식－
한 점 을 지나고 법선벡터가 인 평면의 벡터방정식은
일때
이다.
라고 하면 평면의 벡터방정식에서
을 얻습니다.
따라서 이 되고
이것을 전개하면 이 됩니다.
간단하게 라고 하면 평면의 방정식은
이 됩니다.
－평면의 방정식－
한 점 을 지나고 법선벡터가 인 평면의 방정식은
이다.
간단하게 라 하면 평면의 방정식은 일반적으로
의 형태로 나타낼수 있다.
위 식을 보면 평면의 방정식은 x,y,z에 대한 일차식임을 알수 있습니다.
만약 평면이 세 점 A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) (abc≠0) 을 지난다면
다음과 같이 구할수 있습니다.
주어진 평면의 법선벡터를 이라 하면
은 와 수직이고 와 수직입니다. 즉, 동시에 수직이죠
따라서
입니다.
그리고 평면은 점 A를 지납니다.
따라서 평면의 방정식은
입니다.
전개해서 정리하면 이고 양변을 abc로 나누면
이 나옵니다.
따라서 다음을 얻습니다.
－정리 1－
세 점 을 지나는 평면의 방정식은
이다.
ex1) 한 점 (2,4,－1) 을 지나고 법선벡터가 인
평면의 방정식을 구하고 그 그래프를 그리시오.
(풀이)
한 점 (2,4,－1) 을 지나고 법선벡터가 인 평면의 방정식은
이므로
전개하면 2x＋3y＋4z＝12 이다.
그래프를 그리면 아래와 같다.
ex2) 세 점 P(1,3,2) , Q(3,－1,6) , R(5,2,0) 을 지나는 평면의 방정식을 구하시오.
(풀이)
주어진 평면의 법선벡터를 이라 하면
법선벡터는 와 에 동시에 수직이므로
이다.
주어진 평면은 점 P를 지나므로 평면의 방정식은
ex3) 직선 과 평면 4x＋5y－2z＝18 이 만나는 점의 좌표를 구하시오.
(풀이)
주어진 직선을 매개변수 형태로 쓰면
x＝2＋3t , y＝－4t , z＝5＋t 이다.
이것을 평면에 대입하면
4(2＋3t)＋5(－4t)－2(5＋t)＝18 이므로 t＝－2
t＝－2 이면 x＝－4 , y＝8 , z＝3
따라서 교점의 좌표는 (－4,8,3) 이다.
ex3) 두 평면 x＋y＋z＝1 , x－2y＋3z＝1 이 이루는 각의 크기를 구하시오.
(풀이)
두 평면의 법선벡터는 각각 두 평면에 수직이므로
두 평면이 이루는 각의 크기는
두 법선벡터가 이루는 예각의 크기와 같다.
따라서 두 평면이 이루는 각의 크기를 θ라 하면
두 평면의 법선벡터는 각각 <1,1,1> , <1,－2,3> 이므로
직선과 직선이 이루는 각
평면과 평면이 이루는 각
이것은 두 방향벡터가 이루는 예각의 크기와 같습니다.
그런데 직선과 평면이 이루는 각을 구할떄는 주의해야 할 점이 있습니다.
위 그림처럼 평면의 법선벡터 과 직선의 방향벡터 가 이루는 각의 크기를 θ라 하면
직선과 평면이 이루는 각의 크기는 가 됩니다.
따라서 를 이용해서 cosθ를 구했으면
직선과 평면이 이루는 각의 크기를 알기 위해 의 값을 알아야 합니다.
벡터의 외적을 이용하면 두 평면의 교선의 방정식을 쉽게 구할수 있습니다.
일단 직관적으로 생각할수 있는 사실이지만
두 평면은 두 평면의 교선을 포함합니다.
따라서 두 평면의 법선벡터를 라고 하고
교선의 방향벡터를 라고 하면 교선과 방향벡터는 평행하므로
는 에 동시에 수직입니다.
그러므로 교선의 방향벡터는 두 법선벡터의 외적입니다.
－정리 2－
법선벡터가 각각 인 두 평면의 교선의 방향벡터를 라 하면
이다.
ex4) 두 평면 x＋y＋z＝1 , x－2y＋3z＝1 의 교선의 방정식을 구하시오.
(풀이)
두 평면의 법선벡터는 각각 <1,1,1> , <1,－2,3> 이므로 교선의 방향벡터는
한편 두 평면에 z＝0 을 대입하면 x＋y＝1 , x－2y＝1
이 연립방정식을 풀면 x＝1 , y＝0 이 나온다.
따라서 교선은 점 (1,0,0)을 지난다.
그러므로 교선의 방정식은 이다.
아래 그림에서
라고 할 때
점과 직선 사이의 거리 D를 구하는 방법은 다음과 같습니다.
위 그림에 있는 평면을 ax＋by＋cz＋d＝0 이라고 하면 이고
는 평면 위의 점 이므로 입니다.
와 이 이루는 각의 크기를 θ라고 하면
위 그림에서 길이가 D인 선분과 이 이루는 각의 크기도 θ가 됩니다.
따라서
입니다.
－정리 3－
점 과 평면 사이의 거리는
이다.
ex5) 평행한 두 평면 10x＋2y－2z＝5 , 5x＋y－z＝1 사이의 거리를 구하시오.
(풀이)
두 평면이 평행하기 때문에
한 평면 위의 점을 하나 잡아서 그 점과 다른 평면 사이의 거리를 구해도 된다.
10x＋2y－2z＝5 위의 점 을 잡고
이 점과 평면 5x＋y－z＝1 사이의 거리를 구하면
이다.
ex6) 꼬인 위치에 있는 두 직선
사이의 거리를 구하시오.
(풀이)
두 직선은 꼬인 위치에 있으므로 교점을 갖지 않는다.
따라서 두 직선 L₁, L₂를 포함하는 평행한 두 평면 p₁,p₂를 만들수 있다.
두 평면이 평행하고 그 평면은 직선을 포함하므로
두 평면의 법선벡터는 두 직선의 방향벡터와 동시에 수직이다.
두 직선의 방향벡터는 각각 <1,3,－1> , <2,1,4> 이므로 법선벡터는
따라서 L₁을 포함하는 평면은 점 (1,－2,4) 을 지나므로
그리고 직선 L₂위의 점은 (0,3,－3)
점 (0,3,－3) 과 평면 13x－6y－5z－5＝0 사이의 거리는
두 직선 사이의 거리와 같으므로 구하면
이다.
내용출처 : Calculus 6E－James Stewart
P.S : 직선의 경우에는 두 점을 지나는 직선의 방정식이 공식화되어 있는데
평면의 경우에는 세 점을 지나는 평면의 방정식이 공식화 되어있지 않습니다.
그 이유는 세 점을 지나는 평면의 방정식을 공식화시킨게 너무 복잡하기 때문입니다.
실제로 세 점 을 지나는 평면의 방정식은
라고 할 때
이렇게 나옵니다.
복잡하네요….ㄷㄷ
삼각형 PQR의 넓이를 구하는 것도 공식화되지 않은 이유는 위와 같습니다.
‘복잡해서’ 입니다.
쓰는 김에 삼각형 PQR의 넓이도 그 결과만 쓰면
이렇게 나옵니다.
이거 외울 용자분 계시나요?
위 식은 벡터의 외적을 이용하면 모두 유도할수 있습니다.
심심하면 저 공식 유도해보세요 ㅋㅋㅋ
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벡터 외적(Cross product)
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공간도형에서 평면 방정식은 법선벡터를 구해야 알 수 있다. 다르게 표현하면 평면 위에 있는 두 벡터에 동시에 수직인 벡터를 구해야 한다. 공간에 있는 세 점 $A(1,2,-1), B(-2,1,3), C(-1,0,1)$을 지나는 평면 방정식을 구해 보자.
법선벡터를 $\vec{n}=(a,b,c)$라고 하자. $\overrightarrow{AB}=(-3,-1,4),\;\;\overrightarrow{AC}=(-2,-2,2)$이고
$$\vec{n}\bot\overrightarrow{AB},\;\;\vec{n}\bot\overrightarrow{AC}$$
이므로 $$-3a-b+4c=0,\;\;-a-b+c=0$$
$2a-3c=0$에서 $\displaystyle{\frac{a}{3}=-\frac{c}{2}}$이므로 $a=5t,\;\;c=-t$이다. $b=-t$이므로 $\vec{n}=(3,-1,2)t$이다.
그러므로 평면 위의 점을 $X(x,y,z)$라고 하면 $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AX}=0$에서
$$(3,-1,2)\cdot(x-1,y-2,z+1)=0$$
$$3x-y+2z+1=0$$
법선벡터를 구하는 과정을 공식으로 만들어 보자.
벡터 $\vec{n}=(x,y,z)$가 두 벡터 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\;\;\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$와 동시에 수직이라고 하자.
$$a_1x+a_2y+a_3z=0\;\;b_1x+b_2y+b_3z=0$$
$$x=(a_2 b_3-a_1 b_2)t,\;\;y=-(a_1 b_3-a_3 b_1)t,\;\;z=(a_1 b_2-a_2 b_1)t$$
임을 쉽게 확인할 수 있다. $(x,y,z)=(a_2 b_3-a_1 b_2, -a_1 b_3+a_3 b_1,a_1 b_2-a_2 b_1)$라고 할 수 있다. 이것을 외우기 쉽게 행렬식으로 정리하면 다음과 같다.
$$\Bigg(\begin{vmatrix}a_2 & a_3\\ b_2 & b_3\end{vmatrix},\;\;-\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3\end{vmatrix},\;\;\begin{vmatrix}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{vmatrix}\Bigg)$$
고등학교 교육과정엔 없지만 과학고 심화수학 책에는 나오는 벡터 외적에 대해 정리해 둔다. 위에서 적은 벡터를 기본벡터를 써서 표현하면 아래와 같다.
$$\begin{vmatrix}a_2 & a_3\\ b_2 & b_3\end{vmatrix}\vec{e_1}-\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3\end{vmatrix}\vec{e_2}+\begin{vmatrix}a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{vmatrix}\vec{e_3}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$$
참고 3차 행렬의 행렬식
이 벡터를 $\vec{a},\vec{b}$의 외적(cross product)이라 하고 기호로 $$\vec{a}\times\vec{b}$$로 쓴다. 두 벡터가 이루는 각을 $\theta$라고 하면 외적벡터 크기는
$$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$$
이고 방향은 오른손 법칙을 따른다. 정리하면 두 벡터 $\vec{a},\vec{b}$에 수직인 단위벡터를 $\vec{n}$이라고 할 때,
$$\vec{a}\times\vec{b}=(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta)\vec{n}$$
이다. 외적은 3차원 공간벡터에서만 정의되는 특별한 연산이다. 외적벡터는 두 벡터에 수직이고 두 벡터로 결정되는 평행사변형 넓이가 크기인 벡터이다.
외적의 성질 1) $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ 2) $\big(k\vec{a}\big)\times\vec{b}=k\big(\vec{a}\times\vec{b}\big)=\vec{a}\times\big(k\vec{b}\big)$ 3) $\vec{a}\times\big(\vec{b}+\vec{c}\big)=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$ 4) $\big(\vec{a}+\vec{b}\big)\times\vec{a}=\vec{b}\times\vec{a}+\vec{c}\times\vec{a}$
기본벡터를 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$로 표현한다면 $$\vec{ i}\times \vec{i}=\vec{ j}\times \vec{j}=\vec{ k}\times \vec{k}=\vec{0}$$와 $$\vec{i}\times \vec{j}=-\vec{j}\times\vec{ i}=\vec{k},\;\;\; \vec{j}\times \vec{k}=-\vec{k}\times \vec{j}=\vec{i},\;\;\; \vec{k}\times \vec{i}=-\vec{i}\times \vec{k}=\vec{j}$$임을 활용하여 쉽게 계산할 수 있다.
한편 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$는
$$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$$와 같이 쉽게 구할 수 있다.
문제 세 점 $A(1,2,-1), B(-2,1,3), C(-1,0,1)$이 주어졌을 때 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.
학원에서 아주 흔하게 가르치는 이른바 사선공식도 쉽게 보일 수 있다.
세 점 $A(a_1,a_2,0), B(b_1,b_2,0), C(c_1,c_2,0)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이 $S$는
$$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}| (b_1-a_1,b_2-a_2,0)\times(c_1-a_1,c_2-a_2,0) |$$
$$=\frac{1}{2}|(b_1-a_1)(c_2-a_2)- (b_2-a_2)(c_1-a_1) |$$
$$=\frac{1}{2}|b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2-(a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2) |$$
외우기 쉽게 그림처럼 곱해서 차를 구한다고 가르친다. 그림을 보고 신발끈 공식으로 부르기도 한다. 모르는 이에게 신기해 보이는 공식이지만 알고 보면 별 것이 없다. 이런 걸 외우기 보다 차근차근 계산하는 것이 훨씬 좋다고 생각한다. 차라리 개념 정리를 하나 더 하는 것이 수학 공부에 도움이 될 것이다.
아래 그림에서 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$을 세 모서리로 하는 부피를 $V$라고 하자.
$$V=h |\vec{b} \times \vec{c}|=|\vec{a}| \cos \alpha | \vec{b} \times \vec{c} |= \vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})$$
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[벡터 미적분학] 평면의 방정식(Equations of Planes)
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평면의 방정식(Equations of Planes)
공간 내에 평면이 존재하고, 평면 위에 한 점 P0 = (x0, y0, z0)이 존재한다고 가정하겠습니다. 평면과 직교하는 법선 벡터(normal vector) n = Ai + Bj + Ck가 주어진 경우에 평면의 방정식은 어떻게 구해야 할까요? 우선 평면 위의 두점 P = (x,y,z)와 P0를 잇는 벡터와 법선 벡터 n은 직교합니다. 두 벡터가 직교하면 내적이 0이므로 이 성질을 이용하여 평면의 방정식을 계산할 수 있습니다.
A, B, C, D는 유일하지 않습니다. 법선 벡터가 평행한 경우에도 해당 법선 벡터는 평면과 직교하기 때문입니다.
점에서 평면에 이르는 거리(Distance from a Point to a Plane)
공간에서 한 점 E와 평면 사이의 거리는 어떻게 구할까요?
우선 평면에 대한 unit normal vector을 구합니다. normal vector는 평면상의 두 벡터사이에 외적을 적용하여 구할 수 있습니다. 여기에 normalize를 적용하면 unit normal vector가 됩니다.
평면 위의 한 점 R = (x0, y0, z0)과 E = (x1, y1, z1) 사이를 잇는 벡터 v를 unit normal vector에 사영(projection)한 뒤에 계수 값만 가져오면 거리를 구할 수 있습니다.
참고자료 및 그림 출처
Jerrold E. Marsden의 Vector Calculus
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